论一类拓扑模中子模可补性.pdfVIP

内容提要 随机度量空间概念最初起源于五十年代，由于人们对它的作用 认识不足，再加上缺乏的有力的研究工具，曾经长期一段时间处于 停滞状态。近年来，我国部分学者对RM．空间的作用重新进行了评 价，并为RM．空间的发展做出了实质性的贡献，初步形成了一整套 理论和方法。本文正是这此基础上对RM一空间理论的基本性质进行 有意义的探索，详细讨论了RN一模，RSN．模，RPN．模中任一有限 秩自由子模以及商模的余秩是有限的可补性的问题，并给出了一个 满意的特征性定理：RPN．模中存在充分多模同态连续随机泛函的充 要条件，是其上任一有限秩伪自由子模是可补的。 关键词拓扑模 有限秩自由模及伪自由模 可补 模同态连续随机泛函 前言 Seminormed 本文的中心耳的是探索随机赋范模(Random Modules)更为精细的基本 Convex Locally 理论．随机赋半范模(简记不RSN．模，也称为随机局部凸模一Random Modules)以其上的(￡，A)一拓扑构成一类特殊的拓扑模，它包括传统的局部凸空间，而且也 包括许多在Banach空间概率论与随机过程中有强烈背景的非局部凸拓扑代数上的非局部凸 拓扑模．因此RSN．模的研究已远远超越了局部凸空间的理论．本文结果集中在证明RSN一 模中任一秩为有限的伪自由模都是可补的(在拓扑模意义下)并给出如下令人满意的特征性 Pseudonormed 定理：任一随机伪范模(Random Modules，简记RPN一模)中每个秩为有 限的伪自由模都是可补的充要条件是这RPN．模上存在足够多的模同态连续随机线性泛函． RSN．模与RPN．模的提出与研究是随机度量理论深入发展的必然产物．为了说明本文工作 Metric 所依赖的背景知识，让我们首先回顾一下随机度量理论(RandomTheory)的历史、 发展过程及其最近所取得的本质性进展与目前该领域所关注的发展方向． 一．概率度量空间与随机度量空间 】942年，K．Mengm。为了将随机性纳入距离几何的框架，首先开创了概率度量空间 Metric (Probabilistic Space，简记为PM一空间)的研究。其基本思想是将空间中两点的距 离定义为一十距离分布函数【1j(这种分布函数是一种橱率分布函数，行为象非负随机变量的分 布函数)，并类似于度量空间的三条公理那样平行地给出PM一空间的公理化定义。美国麻省 献…，尤其他们关于三角函数(也称t一模)与系合函数(copulas)的精细工作导致了柯尔真格 洛夫的基本问题“怎样用一个多维联合分布的边缘分布显示表出该联合分布函数?”的彻底 NormedLinear 年及1964年首次提出概率赋范空闻(Probabilistic Space、简记为PN一空 间)141，并开刨了距离分布函数空间上的半群结构的研究，关于PN一空间上第一个深刻而且 上依测度收敛的拓扑为核局部凸拓扑管该空间中元依测度收敛与几乎处处收敛一致；对 E一范空间证明t若其上依测度收敛与几乎处处收敛一致，那么其依测度收敛拓扑必为局部凸 律16j．在我国，已故的著名学者游兆永教授早在1979年就注意到PM一空间的意义并倡导 了PM一空间的发展，随之，以朱林户、林熙、郭铁信为代表的首批该领域的研究集体形成． 这一集体的研究工作即使在初期也初步理顺了PM一空间与泛函分析的关系[_，8|9】而且也预示 丁随机度量理论在随机泛函分析等相关领域的潜在应用旧9，10，u，12j．