第四节 函数的微分.pptVIP

例10 某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍数为A， 闭环电路的放大倍数为 ，则它们二者有函数关系 当 时，由于受环境温度变化的影响，A变化了10％ 求 的变化量是多少？ 的相对变化量又是多少？ 解 由于 时， ，用 近似计算 ，得 其中 的变化量约为 的相对变化量约为 例11　某公司生产一种新型的游戏程序，假如能全部出售， 收入函数为　　　　　　，其中　为公司一天的产量。如果 公司某天的产量从250增加到260，请估计公司当天收入的增 加量。 解　公司产量的增加量 用　　估计收入的增加量为　　　 * 单击此处编辑母版标题样式 第四节 函数的微分　　　　　　　　　　　 2.4.1 引例 假设某正方形金属薄片受热后边长由 变到 如图2-4所示，问金属片面积的改变量是多少？ 解 金属薄片的原面积为 当金属薄片受热后边长从 变到 时，面积增量 为 二、微分的定义 定义2 设函数 在 的某邻域内可导，则 称 为函数 在点 的微分，记为 ，即 规定：自变量的微分是自变量的增量。 即 从而 函数 在点 处的微分为 所以 即函数的微分与自变量的微分之商就是导数。 根据微分定义可知，引例中 即 例1 求函数 在 时的改变量及微分。 解 将 代入，得 因为 ，所以 故 显然 三、微分的几何意义 设函数 的图形如图2-5所示，MP是曲线上点 处的切线，设MP的倾斜角为 当自变量 有改变量 时， 得到曲线上另一点 由 得 即 由此可知，微分 是当自变量有 改变量 时，曲线 在点 处的纵坐标 的改变量。用 近似代替 ，就是用点 处的切线的纵坐标的改变量 来近似代替曲线 的纵坐标的改变量 。 并且有： 当 时， 微分的几何意义： 四、微分的运算 因为函数 的微分为 ，所以根据导数公式 和导数运算法则就能得到相应的微分公式和微分运算法则 。 1、微分基本公式 2、函数的和、差、积、商的微分运算法则 记 则 3、复合函数的微分法则 设函数 根据微分的定义，有 (1) 当 为自变量时： (2)当 不是自变量，而是 的可导函数 时： 复合函数 的导数为 于是，复合函数 的微分为 由此可知，不论 是自变量还是中间变量，函数 的微分总是保持同一形式 这一性质称为 一阶微分的形式不变性。 利用一阶微分的开式形不变性求复合函数的微分有 时比较方便。 例2 设 求 解法一 用公式 得 解法二 由一阶微分的开式形不变性，得 例3 设 求 解法一 用公式 得 解法二 由一阶微分的形式不变性，得 例4 求方程 确定的隐函数 的微分 及导数 解 对方程两边求微分，得 应用微分的运算法则，得 故有 即 于是所求微分为 所求导数为 五、微分在近似计算中的应用 1、近似计算 在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数 在点 处的导数 ，且 很小时，我们有近似公式 或 若 ，令 当 很小时， 当 很小时，由上式可推得 五、微分在近似计算中的应用 1、近似计算 在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数 在点 处的导数 ，且 很小时，我们有近似公式 3)近似公式： 五、微分在近似计算中的应用 1、近似计算 在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数 在点 处的导数 ，且 很小时，我们有近似公式 2)求函数值： 证 由 得 由 得 其它几个公式也可用类似的方法证明。 例5 计算 的近似值。 解 设 由 得 则 例6 某球体的体积从 增加到 ，试求其半径 改变量的近似值。 解 设球的半径为 ，体积 ，则 由 所以 例7 计算 的近似值。 解 2、误差估计 设量 可以直接度量，而依赖于 的量 由函数 确定，若 的度量误差为 ，则 有相应的误差为 ----称为量 的绝对误差 ----称为相对误差 在计算误差时常用 代替 ，用 代替 ，这样 求出的误差称为误差的估计值。 例8 测得一圆柱的直径为43cm,并已知在测量中绝对误