（高考复习课件）让解题更自然一些——兼谈构造几何模型处理代数问题时需要注意的几个问题.pdfVIP

互 ^ 段 移≯ 殳．乏 7 中学数学杂志 2009年第4期 让解题更 自然一些 — — 兼谈构造几何模型处理代数问题时需要注意的几个 问题 上海市育才中学 201801 任念兵 贵刊文 [1]通过构造圆的内接四边形，并利用 与几何之间的信息转换 平面儿何中著名的托勒密定理处理了若干代数问 题．这算得上是一种新颖独特的解题思路，但从文中 几道例题的证明过程来看，这种方法并没有起到 “妙不可言的作用”；不仅不 “妙”，而且解题过程繁 杂，甚至有多处错误，没有实现 “以形促数”的 目的． 无独有偶，文[2]同样利用构造圆的内接四边形的 1 技巧处理一类代数题，也暴露了与文 [1]类似的问 由于经历了两次信息转换，因此使得解题时需 题．有鉴于此，笔者想通过对文[1]的分析，谈谈构 要处理的信息量大大增加．构造圆的内接四边形就 造几何模型处理代数问题时需要注意的几个问题， 涉及到多个代数量与多个几何量 (圆的6条弦)之 借此与同行们探讨，兼与原作者商榷． 间的转换，解题过程极其繁杂．另外，多个量的相互 1 要注意前提条件 转化往往令人眼花缭乱，很容易犯下代数信息与几 既然是构造圆的内接四边形来处理代数问题 ． 何图形 “不等价转化”的错误，文[2]就通过构造圆 那么就需要用几何量(圆的弦)来表示题 中的代数 的内接四边形 “证明”了一道错题：若 Ill,，，￡，，Y∈ 量(代数式)，而线段长是正实数，这就要求题中的 R ，且m!+tI =mx+ny l，求证： +Y =l，m。 相关代数量必须是正实数；然而很多代数问题并不 +y。= + 2 nm= y(实际上，取m=一I3_ 4 凡 = ， ， ， 满足这样的前提条件，“强行”构造几何模型反而会 弄巧成拙．如对于例 1：已知 1／,·,／1一b +b· =Y=÷显然满足条件，而题中的三条结论均不 ~／1一n ：1，求证：0。+b =1．文 [1]称 “由 成立)．其实，利用初中阶段常见的代数方法——配 , ／1一b。、,／i—n知0≤6,／≤1，0≤b≤1”，并对n， 方法、换元法，就可以直接、迅速的处理文 [1]中的 b为零的情况单独讨论，对n，b均为正数的情况通过 例题，对比文[1]中的构造法，孰简孰繁一 目了然． 构造圆的内接四边形进行证明．这个证明显然是错 侈4l 已知n·,／i—b+b·,／i一口。：1，求 误的，由!／J—b、,／l一0。只能确定 一1≤n≤1， 证 ：。 +b = 1． 一 l≤b≤l，对n，b中6：-一个为负数的情况是无法 分析与证 明 首先将 条件转化为等式 通过构造圆的内接四边形来证明的．无视构造几何 20,／i—b+26 l—n =2，而右边的2则可看 模型的前提条件，“强行”构造圆的内接四边形，是 成是四个平方项n，b，l一0，l—b!的和． 文[1]的最大败笔，这种错误同样出现在例 3、例 5 由题意知20~／J—b+26、／／l一0=n+(1一 的证明过程中，这里不再赘述．