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2.4 等比数列
2.4.1 等比数列的概念与通项公式
?基础达标
1.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则的值为( )
A. B. C. D.1
解析:a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=8a1,
∴==.故选A.
答案:A
2.在等比数列中,a1=,an=,q=,则项数n为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由a1qn-1=an?·=?n=4.
答案:B
3.等差数列{an}的首项a1=1,公差d≠0,如果a1,a2,a5成等比数列,那么d等于( )
A.3 B.2 C.-2 D.2或-2
解析:由a=a1a5?(a1+d)2=a1(a1+4d)?
(1+d)2=1+4d?d=2.故选B.
答案:B
4.(2013·江西卷)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
答案:A
5.等比数列{an}中,若an+2=an,则公比q=________;若an=an+3,则公比q=________.
答案:±1 1
?巩固提高
6.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于( )
A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5
解析:1+2an=(1+2a1)·2n-1,∴1+2a6=5·25.∴a6==79.5.
答案:C
7.三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数是________或________.
解析:设三数为,a,aq,则+a+aq=14,
·a·aq=64,
即a=14,a3=64,
解得:a=4,q=或2.
故所求三数为8,4,2或2,4,8.
答案:8,4,2 2,4,8
8.(1)方程x2-17x+16=0的两根的等差中项是______,两根的等比中项是______.
(2)在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.
解析:(1)∵x2-17x+16=0的二根的x1=1,x2=16.
∴x1与x2等差中项为等比中项为±4.
(2)设插入的三数为a,b,c则b2=ac=×=36.又b与第一项同号,∴b=6,∴插入的三数之积abc=b3=216.
答案:(1) ±4 (2)216
9.等比数列{an}中a2+a7=66,a3a6=128,求等比数列的通项公式an.
分析:求等比数列的首项为a1,q两个参数即可.
解析:解法一:设等比数列的首项为a1,公比为q,由题意
?
以下求解a1,q不易找到思路.
转换思路,利用等比数列的性质,不难得以下解法.
解法二:设等比数列的首项为a1,公比为d,由题意
??或.
∴q5==25或,q=2或.
∴an=a2qn-2=2n-1或.
∴数列的通项公式为an=2n-1或an=28-n.
点评:在解决等比数列的有关问题时,除了直接把题意翻译成数列之外,如果能合理地利用等比数列的性质,往往可以更简单地得到答案.
10.已知等比数列{an}中,a1=1,公比为q(q≠1且q≠0),且bn=an+1-an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由.
(2)求数列{bn}的通项公式.
解析:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为q,
∴an=a1qn-1=qn-1(q≠0且q≠1),
由于====q,
∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1,公比为q的等比数列.
(2)由(1)可知,bn=b1qn-1=(q-1)·qn-1,
∴bn=(q-1)qn-1(q≠0且q≠1).
1.要注意利用等比数列的定义解题.在很多时候紧扣定义是解决问题的关键.
2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项a1,公比d为基本量,其他量用这两个量表示出来,再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题容易解决.
3.若已知三个数成等比数列,一般设为:aq-1,a,aq;
若已知五个数成等比数列,一般设为:aq-2,aq-1,a,aq,aq2;
若前三个数成等差数列、后三个数成等比数列,设四个数分别为a-d,a,a+d,,或2aq-1-a,aq-1,a,aq.
具体设法,要视题设条件不同而选择,以便于运算为目的.
4.等比中项概念要掌握好,在题目中经常出现.
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