第七节 二阶常系数线性微分方程.pptVIP

第七节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义 2、二阶常系数齐次线性方程解法 思考与练习 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 1、f (x)=Pm(x)e?x 型 2、f (x)= e?x[Pl(x)cos ?x + Pn(x)sin ?x]型 3、小结 练习 三、二阶常系数线性微分方程应用举例 故原方程的通解为 例5 二阶常系数非齐次微分方程特解形式： (待定系数法) 写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 解 * 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 n 阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式 特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 (1) 特征方程有两个不相等的实根 两个线性无关的特解为: 得齐次方程的通解为 特征根为 (2) 特征方程有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 (3) 特征方程有一对共轭复根 特征根为 这时原方程有两个复数解: 可得 得齐次方程的通解为 二阶常系数齐次微分方程 求通解的一般步骤: (1) 写出相应的特征方程: (2) 求出特征根: (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 例4 求解初值问题 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 例2 解 特征方程： 特征根: 原方程通解: 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式 由线性微分方程的结构知: 非齐次线性微分方程的通解 = 对应齐次线性微分方程的通解 + 非齐次线性微分方程的一个特解 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 f (x) 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设方程特解为 其中 Q(x) 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 从而得到特解形式为 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 即 即 综上可得： (Page291) 可设特解形式为 ? 不是特征方程的根 ? 是特征方程的单根 ? 是特征方程的二重根 注意 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 解 故对应齐次方程通解为 特征方程为 其特征根为 代入原方程, 得 ?原方程通解为 例1 对应齐次方程为 解 故对应齐次方程通解为 特征方程为 其特征根为 代入原方程, 得 ?原方程通解为 例2 对应齐次方程为 例3 解 特征方程为 特征根为 故对应齐次方程的通解为 对应齐次方程为 代入原方程, 得 ?原方程通解为 由 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 利用欧拉公式 求如下两方程的特解： Page 293 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的根 , 可设非齐次方程特解为 例1 解 对应齐次方程为 例2 特征方程为 对应齐次方程通解为 特征根为 提示 对应齐次方程通解为 所求非齐次方程特解为 原方程通解为 例3 例4 解 对应齐次方程的特征方程为 特征根为 对应齐次方程的通解为 设原方程的特解为 * *