第5章 - 常微分方程初值问题.pptVIP

第五章 常微分方程初值问题 引言 基本概念 Euler方法及其改进 §1 引言 在实际计算中希望有较好的 , 用较少的迭代步(次数), 取得 称 为 的m次迭代 最常用的方法之一是先用显式Euler方法所得的 为 量较大 ,往往取 作为 来用, 更精确的 (足够精度的 ). 而在实际计算中 的计算 改进。 (初始值), 再由梯形方法改进一次，即是预估－校正Euler方法(或称为改进Euler方法)。 三、预估－校正Euler方法 (显式Euler公式) (梯形公式) 或写成 (15) (16) 此算法是单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。稳定性高于显式欧拉法。 注： 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 y(xn) xn 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848 Euler 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.6782 1.7379 预估校正 ans =1/(x-1+2*exp(-x)) ■ MATLAB 解常微分方程初值问题命令 解析解命令:dsolve(eqn1, ...) 解析解: 例 syms x y dsolve(Dy=y-x*y^2,y(0)=1,x) ■ MATLAB 解常微分方程初值问题命令 数值解命令:ode23(‘f, [a,b], y0) 例 f=inline(y-x.*y.^2); [x,y]=ode23(f,[0,2],1) 1.0000 1.0796 1.2485 1.3755 1.4402 1.4209 1.3374 1.2196 1.0923 0.9709 0.8620 0.7870 0 0.08 0.2621 0.4437 0.6437 0.8437 1.0437 1.2437 1.4437 1.6437 1.8437 2.0000 y x 四、单步法的局部截断误差、整体截断误差 问题： 满足基本条件: f (x,y)在D上连续； f(x,y)在D上关于变量y 满足Lipschitz条件. 1.局部截断误差的定义 设单步法为（数值方法公式）： 定义2 设y(x)是方程(1),(2)的准确解，称 为单步法(17)在xk+1点的局部截断误差(方法误差)。 (17) (18) 定义3 若对充分小的h 0 , 常数c 独立于h(与h无关),称(17)是 p 阶方法，即O(hp+1) 判断某种方法的阶数往往通过局部截断误差的阶数来确定，而局部截断误差的阶容易由公式来确定。 说明： (19) 设y(x)是方程(1)(2)的准确解，yk, k=0,1,…,n是单步法(17)的数值解，称 ek = y(xk) - yk, 是单步法(18)在xk点的整体截断误差。 成立 定义4 2.局部截断误差与整体截断误差之间的关系 若单步法(17)的局部截断误差是p+1阶的，即 c1独立于h(不依赖于h或与h无关)， 且函数Φ(x, u, v, h)在区域 定理4 上关于u,v 满足条件 则单步法(17)是 p 阶方法。 (20) 推论: 当f 在D上满足基本条件时,单步法(17)的阶由局部截断误差的阶来确定。 结论： 一般情况下，若局部截断误差是 p+1阶的，则单步法是p 阶方法。 说明： 可用Taylor展开法估计 的阶，即 的主项 高阶项 则对应的单步法是p 阶方法。 由于 (21) 3. 定理的应用（讨论各种方法的阶数） 显式Euler方法是一阶方法 事实上,当(1),(2)的解y(x)二阶连续可导时, f (x, y)关于y满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为L，其局部截断误差为: 将y(xk+1)在xk点展开可得 局部截断误差有界，存在M，使得 记 于是