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第十三讲 偏微分方程(1) 本节内容提要 一、基本概念 二、一阶线性偏微分方程与常微分方程的关系 三、一阶线性偏微分方程的解法 步骤3.写出通解 其中 是各变元的任意连续可微函数. 具体实例： 例3：求解一阶齐线性偏微分方程 其中a,b,c互不相同. 解:方程的特征方程组为 将三个分式作如下变化 利用合比性质有 即有 由此得特征方程组的一个首次积分 再将特征方程组三个分式作如下变化 利用合比性质有 于是 由此可得另一首次积分 因为矩阵 的秩为2，所以这两个首次积分相互独立， 因此所求方程的通解为 其中 为任意二元连续可微函数. 例4：求解一阶齐线性偏微分方程 解:方程的特征方程组为 由 可得一个首次积分为 再由 得 即 两边积分得另一个首次积分 容易证明这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为 其中 为任意二元连续可微函数. (3)一阶拟线性偏微分方程的解法. 我们可利用下面定理求解一阶拟线性偏微分方程. 定理6：设 是常微分 方程组(6)的n个独立的首次积分，那么，若 并能从上式确定函数 ，则上式即 为一阶拟线性偏微分方程(3)的通解，其中 为 的任意连续可微函数. 归纳： 一阶拟线性偏微分方程的解法 步骤1.首先写出一阶拟线性偏微分方程(3)式的特征方程组(5). 步骤2.求出特征方程组(5)式的n个独立的首次积分 步骤3.写出通解 其中 是各变元的任意连续可微函数. 具体实例： 例5：求解一阶线性偏微分方程 其中 是行列式 的第一行第k个元素对应的代数余子式，而为 的已知可微函数. 解:原方程的特征方程组为 由行列式的性质，有 给特征方程组的四个分式的分子分母分别乘以 ，再相加得 从而得 同理可得 由此得三个首次积分 由所给方程知 不可能全为零，所以这三个首次积分还是相互独立的，因此所求方程的通解为 其中 为任意二元连续可微函数. * 高等教育电子音像出版社 宁波大学 陶祥兴等 编 一、基本概念 二、一阶线性偏微分方程与常微分方程的关系 三、一阶线性偏微分方程的解法 简介： 偏微分方程有着广泛的应用价值，它与物理学及其他各门自然学科、技术科学都有联系，往往反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。下面我们要讨论的是一阶及二阶线性偏微分方程。一阶线性偏微分方程我们会介绍将其转化为常微分方程组(特征方程)，再求首次积分的方法来求解。而二阶线性偏微分方程由于内容繁多，这里我们只介绍三类典型的方程及初边值问题等基本概念。 本讲研究对象：一阶偏微分方程 定义1：一阶齐线性偏微分方程. (2) (1) (一般形式) 形如 其中 是自变量， 是 的未知函数， 为 自变量 的已知函数. 定义2：一阶拟线性偏微分方程. 形如 (3) 其中 是自变量， 是 的未知函数, 所谓“拟线性”是指仅对未知函数的各个 一阶偏导数是线性的. 定义3：一阶偏微分方程的解及通解. 为 个变量 的已知函数. 函数 称为一阶偏微分方程(1) 的解：若它满足在某个域D内连续和存在 一阶偏导数，把它们代入F的相应变元时, 能使方程(1)对于这些自变量成为恒等式，即在D内成立恒等式 所谓一阶偏微分方程的通解：就是指在某域内的一切解的一般表示式. 定义4：一阶偏微分方程的积分曲面. 解 可以想象为在空间 中的一张n维曲面，通常称为一阶偏微分方程(1)的积分曲面. 定义5：特征方程组.常微分方程组 (4) 称为一阶齐线性偏微分方程(2)的特征方程组. 常微分方程组 (5) 称为一阶拟线性偏微分方程(3)的特征方程组. 定义6：首次积分.对一般的常微分方程组 (6) 其中，右端函数 都在某个 域 内连续，设 等于与 无关的常数，则称表达式 为方程组的一个首次积分， 其中 是任意常数，有时也简称