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第2章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 分离变量法 分离变量法是一种初等的解法，对方程的形式有一定的要求。有些方程，虽然表面不是变量可分离方程，但经过一次或多次变量代换却可以变为变量可分离方程。于是这种方程我们也可以利用分离变量法来求解。下面介绍几类经过变换可化为变量可分离方程的典型方程。 2.1.2 可化为变量可分离方程的方程 （I）齐次方程 （II）可化为齐次方程的方程 * 先看例子： 2.1.1 变量可分离方程 定义1 形如 方程,称为变量分离方程. 变量可分离方程解法 这样变量就“分离”开了. 例： 分离变量: 两边积分: 例1 求微分方程 的所有解. 解: 积分得: 故方程的所有解为: 例2 解： 将变量分离后得 两边积分得: 因而通解为 这里c为任意正常数. 或者解出y，写出显式解 例3 解: 两边积分得: 因而通解为: 再求初值问题的通解, 所以所求的特解为: (I) 形如 方程称为齐次方程, 求解方法: 例4 求解方程 解: 方程变形为 这是齐次方程, 即 将变量分离后得 两边积分得: 即 代入原来变量,得原方程的通解为 例5 求下面初值问题的解 解: 方程变形为 这是齐次方程, 将变量分离后得 两边积分得: 整理后得 变量还原得 故初值问题的解为 (II) 形如 的方程可经过变量变换化为变量分离方程， （2.1.8） 分三种情况讨论 为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程. 这就是变量分离方程 *
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