第十四讲常微分.pptVIP

第十四讲 偏微分方程(2) 高等教育电子音像出版社 本节内容提要 * 宁波大学 陶祥兴等 编 一、双曲型二阶偏微分方程 二、抛物型二阶偏微分方程 三、椭圆型二阶偏微分方程 一、双曲型方程——波动方程 1、双曲型二阶偏微分方程的导出 在研究波的传播及弹性体振动时我们常会遇到波动方程. 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔(D’Alember)等人首先给予系统研究的.弦振动方程来源于以下的物理问题: 下面我们来看看弦振动方程的导出: 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦,其长为L,在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动,求弦上各点的运动规律. 将这一实际问题归结为数学模型,先作一些理想化的假设: 1弦是均匀的,弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略,因此弦可以视为一根曲线. 2弦在某一平面内作微小横振动,即弦的位置始终在一直线段附近,而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动. 3弦是柔软的,它在形变时不抵抗弯曲,弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致,而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克定律. 在上述假定下,由于弦上各点的运动规律不同,我们对弦的各个片段分别进行观察. 利用牛顿第二定律: 作用在物体上的力=该物体的质量*该物体的加速度 及动量定理: 作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化 从而得到不受外力作用时弦振动所满足的方程: (1) 以及在外力作用时弦振动所满足的方程: (2) 其中 表示单位质量在x点处所受的外力. 弦振动方程(2)中只含有 ,其中 表示时间， 表示位置.由于它描述的是弦的振动或波动现象,因而它又称为一维波动方程. 类似地可导出二维波动方程(例如薄膜振动) 形式为 三维波动方程(例如电磁波、声波的传播) 形式为 (3) (4) 2、相关定义 如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程. 否则称这个方程是非线性方程. 进一步，如果方程对未知函数的所有最高阶导数总体来说是线性的，则称它为拟线性方程. 如果非线性方程中方程对未知函数的最高阶导数不是线性的，则称为完全非线性方程. 若方程等号右端的函数 ，则称方程为齐次方程.如方程(1).否则称为非齐次方程. 3、初边值问题 初值问题(柯西Cauchy问题)的形式： 初始条件 对于双曲型二阶偏微分方程的柯西问题，我们可以利用分离变量法得到解的存在性. 初边值问题(混合问题)的形式： 初始条件 边界条件 上面给出的边界条件为第一类边界条件(又称狄利克雷Dirichlet边界条件) 若给出的边界条件为 其中 是 的已知函数. 这种边界条件称为第二类边界条件(又称诺伊曼Neumann边界条件). 若给出的边界条件为 其中 是 的已知函数， 是已知正数. 这种边界条件称为第三类边界条件. 二、抛物型方程——热传导方程 1、抛物型二阶偏微分方程的导出 在研究热传导、扩散等物理现象时我们常会遇到此类方程. 下面我们来看看热传导方程的导出: 考察空间某物体 的热传导问题. 我们首先依据传热学中的傅立叶实验定律知，物体在无穷小时段 内沿法线方向 流过一个无穷小面积 的热量 与物体温度沿 曲面 法线方向的方向导数 成正比. 实际问题的提出：物体 内一闭曲面 在某一时刻段流入热量 ，流入的热量使物体内部温度发生改变，则物体应该吸收的热量与流入的热量 相等. 由此可得热传导方程： (5) 若考虑物体内部有热源，则得方程： (6) 2、相关定义 (5) (5)我们称为齐次热传导方程. (6)我们称为非齐次热传导方程. (6) 因为(5)中含有自变量 ，我们又称(5)式为三维热传导方程. 其中 是自变量， 是 的未知函数 (7) (2)式称为一维热传导方程. (8) 其中 是自变量， 是 的未知函数 (3)式称为二维热传导方程. 类似地，形如 3、初边值问题 初始条件 边界条件 前面我们介绍的初边值问题中的边界条件 称为热传导方程第一类边界条件（又称狄 利克雷Dirichlet边界条件) 其中 表示物体的边界曲面， 是 定义在 上的已知函数. 若给出的边界条件形式为 则此边界条件称为热传导方程第二类边界条 件（又称诺伊曼Neumann边界条件) 其中 表示 沿边界 上的单位外法线 方向n的方向导数，而 是定义 在 的已知函数. 若给出的边界条件形式为 则此边界条件称为热传导方程第三类边