有关高等数学中极限思想的研究.pdfVIP

第 17 卷第 3 期 工　科　数　学 . 17, №. 3 V ol 2001 年 6 月 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICS FOR T ECHNOLO GY Jun. 2001 关于高等数学中极限思想的研究 陈　刚, 　米平治 (辽宁工程技术大学, 阜新 123000) 　　[摘　要] 本文针对在工科高等数学的教学中, 学生对极限这一重要概念难以把握和理解的现象, 提出了 分三个层次并从哲学的角度来理解这一思想, 为学生最终解决这一难点提供了一种有效的方法. [ 关键词] 极限思想; 辩证思维; 思维定式; 有限与无限 [ 中图分类号] O 13　　[ 文献标识码] C　　[ 文章编号](2001) 1　引　　言 极限是高等数学中的重要概念之一, 它是区别于初等数学的显著标志, 也是研究高等数学的最主要 方法. 高等数学中的几乎所有的重要概念都是由极限来定义的. 从连续到导数的概念, 从一元函数的积 分到重积分以及线面积分都是用极限来定义的, 甚至于级数的收敛等基本概念也是某种特殊的极限. 因 而, 极限概念不仅是一个数学概念, 也体现了一种处理客观世界数量变化的新思维、新方法. 大学生在未进入高校之前所学习的中学数学都是初等数学, 也叫常量数学. 在中学数学的学习中, 学生接触的量都是常量, 也就是在某一个运动过程中, 被研究的量都是固定不变的. 一个未知量一旦确 定, 就是永远不变的. 因而, 常此以往, 学生就学会了以一种静态的、不变的观点来分析事物的思维定式. 经过小学、中学两个阶段的教育, 这种思维定式已经是根深蒂固、难以改变的了. 然而, 在物质世界中, 事 物的运动是绝对的, 静止是相对的, 这是物质世界的普遍规律. 高等数学就是以运动、变化的观点来处理 问题解决问题, 而极限就是处理变化事物的最有效、最成功的方法之一. 然而, 若想使学生从一种静止不 变的思维定式向动态的变化的思维定式的转变, 其难度是可想而知的. 同时, 也可以理解为什么学生认 为极限的概念非常难学、不易把握了. 既然极限的概念如此重要, 学生又陷入了迷茫和不知所措的困难 之中, 我们认为有必要解开极限概念难以理解和掌握的谜团. 下面, 我们从三个层次加以阐述. 2　正确认识无限的内涵 极限的问题主要是无限问题, 它把某些实际问题的研究放在无限过程中接受考察, 最终得出相应的 结论. 如, 中国古代的哲学家庄周在他的《庄子天下篇》中说: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”。他把木棰 ( 长度的变化纳入一个无限的过程中去研究. 在高等数学中数列的极限定义 以数列极限为例, 其它极限 ) 仿此 恰有两个“无限”: 一个是“自然数 无限增大”, 另一个是“ 无限趋于 ”, 而这两个“无限”是数列 n an a 极限定义的核心. 从字面来说, 这两个“无限“似乎并不难理解, 但是追究它们的实质, 就觉得很茫然, 非 常不易掌握。对于在中学数学中没有遇到过无限的数学模型, 没有处理过无限变化过程实际经验的中学 生来讲, 若想正确地把握无限的内涵, 其难度是可想而知的. 那么, 如何正确认识无限的内涵呢? 我们认为从哲学的角度来界定事物发展变化过程中所呈现的无限性是正确理解极限的基础. 首先, 从事物发展的动力、源泉和实质内容来看, 一切事物的发展变化都遵循着对立统一规律。按对立统一规 　[ 收稿日期] © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. A