福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间直线》学案.docVIP

福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间直线》学案 1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点． 3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ． 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) 6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． ∴EF＝ 变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角． 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝ ∴COS∠QNB＝ ∴∠QNB＝arc cos 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝， cos∠GNA＝。 例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF． (1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD ∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD ∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线． (2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，，)， ＝(1，0，0) 面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos，＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为． 变式训练4：如图，在正方体中， E、F分别是、CD的中点． （１）证明； （２）求与所成的角。 （1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1 又DF1DC1，所以AD⊥D1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。 1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义； (3)求角． 2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法． 3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法． 3 用心 爱心 专心 基础过关 典型例题 B M A N C S A C B N M A1 C1 B1 C D B E F A M P 小结归纳