【微积分课件】函数的极限.docVIP

第二章 函数的极限与连续性 第二讲 极限 (一) 课后作业： 阅读： 第二章2.1--- 2.2 pp.27—39, 预习: 第二章2.3--- 2.4 pp.40—50, 练习 pp34--35 习题 2.1: 1; 2 pp39--40 习题 2.2: 1.(1), (2),(3); 2.(1), (6),(10),(11),(14); 3. (2); 4. (1). 作业 pp34--35 习题 2.1: 1; 2 pp39--40 习题 2.2: 1.(4), (5), (6); 2.(3), (4),(7),(8),(9),(12),(13); 3. (1); 4. (2). 引言： 1, 极限的发展: 由方法到概念： 从求切线求速度到导数概念； 从的求曲边面积到定积分概念 (公元前二百多年到十七世纪) 由直观到理性： 从物理、几何的直观到微积分理论的创立 由混乱到精确： 从贝格莱的无穷小悖论说到柯西的 ((( 定义 三大流派： 逻辑主义(英国Russell １８７２－１９７０) 直觉主义(荷兰Brouwer１８８１－１９６６) 形式主义(德国Hilbert １８６２－１９４３) 2, 极限的重要性: 极限是一种思想方法 从认识有限到把握无限；从了解离散到理解连续； 极限是一种概念： 许多物理、几何对象要用极限来刻画 极限是一种计算： 许多物理、几何量要通过极限来求出 2-1 函数的极限 2-1-1 函数极限的定义 (1) 自变量变化的描述: 邻域概念： 的邻域， 的去心邻域， 两种基本变化趋势： 趋向于一点： 趋向于无穷: (2)函数极限的直观的定义 设函数在点的某去心邻域上有定义, 若存在常数A, 当“无限趋于,不等于”时, 函数“无限趋于A” 。则称A是 当趋于 的极限。记作. 或者. (3)函数极限举例 (a) 函数在一点的极限 例1: 例2: 例3: . 例4: . (4) 函数在无穷远处的极限 定义:设函数在区间有定义,若有实数. 当“无限变大”时, 函数“无限趋于A” 。 则称A是, 当时的极限,.记作,或者. 类似地可以定义当当和时函数的极限. (5) 极限严格定义：设函数在点的某去心邻域上有定 义, 若,, ,使得所有满足不等式 的动点,都有 则称当时,函数有极限, 或者称当时,函数趋向于. 记作,或者. 或者. (3)几点说明 函数在一点的极限不考虑该点处函数是否有定义，但在附近必须要有定义。 极限直观定义的优缺点. 2-1 函数极限的性质和计算 (一) 数列极限的性质: 性质1: (函数极限的几何意义) 性质2: 函列极限若存在,则必唯一. 性质3: 函列极限若存在，则一定有界. 函数在点的某去心邻域中有界。 性质4: 极限的保序性 性质6: 函数在一点的单侧极限与极限 和的定义 命题2.5: 极限存在的充分必要条件是与都存在并且相等. (二) 函数极限的计算: 极限的四则运算 若极限, 存在, 则: (1) (2) 对于任意常数, (3) (4) 假定, 则 思考：若己知存在，关于 极限, 可以有什么结论？ 两者是否一定存在？ 若其中一个存在，另一个是否一定存在？ 若，那么结论如何？ 其他的性质也反过来问一问？ 夹逼收敛准则： 若, , 且 , 则 。 例，=？ 解： 利用图形： =1 复合函数极限定理： 设,, 且当时,, 则 . 注: 这里的条件时,的作用：例子 若, 而, 显然有和, 考察： 初等函数的极限定理： 若是初等函数，在其定义域区间内，则有 函数极限计算例 两个重要极限: , 例一 =？其中分别m, n是次多项式, 其最高次项的系数分别为。 例如 解: 原式分子与分母同除以得到 = 例二 解：当, , 记, . 此处, , 小于的最大整数。 类似可求出： 例三. 令 由此可推出: 例四: 求 解: 例五， 解：令 , 特别有：若 通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知的极限。(如, , , , ) 例六 求 解: 例七 :求 解: 因为当时, , 所以,从