【微积分课件】函数可积性.pptVIP

* P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9. 复习：P37—53 预习：P54—60 作业 第五讲 函数可积性 一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类 一、定积分的概念 黎曼积分定义： 记作: 积分上限 积分下限 称为积分区间 定积分是 : 积分和式的极限 [例如] 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 [证] [解] 问：这个做法对不对？ 关键：定积分的存在性 定积分作为黎曼和式的极限，其 构造十分复杂，因此想计算这个和式 的极限来研究定积分，实际上是不可 行的. 另一途径是先研究其存在性， 首先是简化和式结构，把“两个任意” (任分任取)简化为“一个任意”(任分) 这就是达布上和与下和的来由。 三、可积性条件与可积类 1.达布上和与达布下和 (一)可积条件 定义：（达布上和与下和） 达布上和 （大和） 达布下和 （小和） [注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的 这是上和、下和与积分和的主要区别 [注意2] 对同一个分法，上和与下和的关系是: 2. 达布上和、下和的性质 性质1： [证] 因此 即 性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增） 其中 [证] 只须证明增加一个新分点时，性质成立 性质3： （下和总不超过上和） [证] 根据性质2，有 又对划分 有 性质3说明: 全体上和所构成的数集与全体下 和所构成的数集，都是有界集。 任何一个下和都是全体上和所构成的数集的一个下界；任何一个上和都是全体下和所构成的数集的一个上界。 下积分 上积分 性质4：（下积分不超过上积分） 性质5：（达布定理） 对于上、下积分，有 [证] 19 根据性质2， *