【微积分课件】函数连续的定义及其性质.docVIP

第三讲 函数的连续性 ( The Continuity of function ) 阅读： 第二章2.4 pp.44—50, 预习: 第三章3.1 pp.51—58, 练习 pp49--50 习题 2.4: 1至 8; 9, (1), (2), (3); 10, (1),(3); 14; 15. 作业 pp49--50 习题 2.4: 9, (4); 10, (2); 11; 12; 13. 2-4 函数连续的定义及其性质 2-4-1 函数连续性的定义 定义： 函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，我们对函数连续性有三种描述： 其一，当自变量有微小变化时,其函数的变化也是微小的； 其二, 自变量的微小变化不会引起因变量跳跃； 其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断. 以上只是连续性的直观理解, 实质上是相意的反复, 在数学上要确切地刻画函数连续性概念, 必须用极限作定量地描述: 定义1: 设函数在的某邻域中有定义, 若, 则称函数在点连续, 称为是的一个连续点; 否则就称在点间断, 称为是的一个间断点. 注一: 函数f在点x0连续蕴含以下三个条件，缺一不可: (1) f在x0的某邻域有定义; (2) f在点x0的极限存在; 极限值等于函数值。 以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。 注二：函数f在点x0连续意味着极限运算与函数运算可交换，即 定义2: 设函数f在有定义,且,则称函数f 在点x0左连续; 设函数f在有定义,且,则称函数f 在点x0右连续. 定义3: 如果函数在开区间中每一个点都连续, 则称在 连续,记作; 如果函数在连续,并且在点右连续、左连续, 称在闭区间上连续,记作. 间断点分类： 根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类: 1 可去间断点: 若存在，但不等于,称是的可去间断点。 可去间断点是非本质上的间断，我们可改变的定义, 令 , 这样就变成重新定义后的函数的连续点. 例如在点没定义,但,因此是的可去间断点.如果令, 则是的连续点. 第一类间断点: 如果与都存在但不相等, 则称是的第一类间断点. 此时，的函数值在发生跳跃,跃度等于(即). 例如符号函数, 在点发生第一类间断;取整函数在每个整数点发生第一类间断. 第二类间断点: 如果两个单侧极限与中至少有一个不存在,则称是的第二类间断点. 例如点是函数和的第二类间断点. 2-4-2 函数连续性的基本性质 连续性定义的等价形式： 若函数f在x0某邻域有定义，则以下命题是等价的： (A) 函数f在x0连续 ; (B) ; (C) 函数f在x0既右连续,又左连续 ; (D) 其中, 连续函数的有界性： 若函数f在x0连续, 则f在x0的某邻域中有界，简称f在x0点有界。 单调函数的连续性： 若函数是单调函数，若不连续，则只能有第一类间断点。(用到单调有界必有极限) 设函数是单调 (减) 的函数，若函数的值域充满区间 ( ), 则f是上的连续函数。 (4) 关于反函数的连续性： 定理: (反函数的连续性) 假定函数在连续,单调增加(或单调减少),则的值域是区间(或者),并且反函数在区间连续. 证明: (1) 反函数的存在是易证的, 且亦是单调函数。 (2) 今证连续性：由f的连续性可知，取区间 所有值，加上是单调 函数, 根据单调函数连续性质，可得: 在区间上连续。 证明要用到连续函数的介值定理。 (5) 连续函数的运算性质： (A) 设函数f, g在点x0都连续, 则 对于任意常数,函数也在点连续. 两个函数的乘积在点连续; 如果,商也在点连续. 若在连续, 在连续, 且, 则复合函数 (注:) 在点连续. 以上各结论可以由关于极限的运算法则推出. 2-4-3 初等函数的连续性 重要结论是：所有初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1) 基本初等函数的连续性： 由连续定义可验证基本初等函数：常数函数C, 以及,, 的连续性; 例：的连续性问题，即欲证: 用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数: =, ,, , 的连续性; 用连续函数四则运算性质证明基本初等函数: 的连续性; (2)初等函数的连续性： 最后运用连续函数的四则运算、的连续性. (3)非初等函数及其连续性问题： ， 等是否是初等函数？ 2-4-4 在闭区间上