【微积分课件】函数的导数与微分.docVIP

第六讲 导数与微分 (The differentiable properties of function) 阅读： 第3章3.1 pp.51—58, 预习: 第三章3.2, 3.3 pp.60—73, 练习 pp67--70 习题 3.2: 1至 5; 6, 7; 9, (2), (4), (5); 10, (2),(3); 11, (2),(4) 12; 14; 16. 作业 pp59--50 习题 3.1: 6; 8; 9, (1), (3), (6); 10, (1),(4); 11, (1),(3),(5),(6); 13; 15; 17. 答疑时间：每周星期三下午三点半至五点， 答疑地点：理科楼1107 下周(第六周)星期三, 自二各班, 第二节上大班习题辅课, 一教104 下周(第六周)星期三, 文2、新闻2医学21、环二、环21-23、建环2、软件班等各班 及其他同学, 第一节上大班习题辅课, 一教101 3-1 函数的导数与微分 4-1-1 函数导数的定义 一 两个典型背景示例 例一: 运动物体的瞬时速度. 设质点沿轴作直线运动, 若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为. 求在时刻的瞬时速度. 解: (1) 求时段到＋的平均速度： . (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此,如果极限 存在, 这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度. 例二: 曲线的切线斜率. 设曲线由方程确定. .要求在点的切线. 求区间到的弦的斜率: =; 弦斜率的极限是切线的斜率: ==; 曲线:在点的切线: 斜率等于, 切线的方程称为: 二 导数的定义 定义: 假设函数在点某邻域有定义, 如果极限 = 存在,则称其值为函数在点的导数, 并说在可导； 在点的导数记作或或或. 函数在点的导数, 就是在点函数关于自变量的变化率. 运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数. 曲线在点切线斜率是函数f对x的导数. 例 : 细杆的线密度。设有长度为的质量不均匀细杆,杆所在的直 线为轴, 表示细杆在区间中的质量. 是细杆在一段的平均质量密度是 . 它的极限, 即质量函数关于在点的导数 就是细杆在的线密度. 在导数定义中, 称为自变量的增量; 可正可负 , 但是不能取零; 称为函数的增量. 当限制的负正时，有所谓左、右导数之称, 即： 若存在, 则称其为在的左导数; 若存在, 则称其为在的右导数; 在点的左、右导数分别记作和. 三 例 1, 常数函数的导数. 由导数定义(注意到)得到 . 所以 . 2, 三角函数的导数: 和的导数. = = 同样的方法可以得到 . 注意几何意义。 对数函数的导数 当 , 当, ， 幂函数的导数. 解:对于任意的,有 = 3-1-2 导数的基本性质 性质一：函数在点存在导数的充分必要条件是在点的 左、右导数都存在并且相等. 性质二: 如果在可导, 则函数在的增量可表成： . 证明: 由在点可导, 则有 . 由极限性质可知，当时，, 即 . 推论一：如果在可导, 则函数在必连续。 推论二：如果, 则。 推论三：如果在可导, 在附近用切线上的增量, 来近似函数曲线上的增量，相差为。 注意：由函数的连续性不能推出可导性. 如果在区间中的每个点都可导,称在区间上可导, 这时,在上定义一个函数, 称为的导函数, 简称导数. 当区间为有界闭区间时, 在区间上可导的含义是: 在的每一个内点可导；在两点分别存在右导数和 左导数. 此时记成: . 符号 ，表示导函数在I上连续. 性质三: 导数的四则运算性质: 若函数,在点都可导,则 1.函数在点可导, 并且 2.对于任意常数,函数在点可导,并且 . 3.函数在点可导,并且 . 4.如果,则在点可导,并且 . 证明:以下记 = 1. 设函数,在点都可导,则 . 2. 设函数在点都可导,则对于任意常数,有 . 3. 当函数,在点都可导时,有 == =