高中数学单元测试三角函数预测.docVIP

探究开放题预测 预测角度1 三角函数的图象和性质 1．关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题： ①由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是π的整数倍；②若x1,x2，且2f(x1)=f(x1+x2+)，则x1x2；③函数y=f(x)的图像关于点(-，0)对称．④函数y=f(-x)的单凋递增区间可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+(k∈Z)求得． 其中正确命题的序号是 . [解题思路] 利用函数y=Asin(ωx+)的图像和性质与数形结合的思想，去分析四个命题的真假． [解答] ∵函数f(x)=4sin(2x+)的周期为霄，而且由图像易知，其在任意一个长度为π的区间内，至少有两个不同的自变量的值，使函数值为零，故①错． ∵ 令ai=2xi+(i=1，2)，于是有2sinα1=sin(α1+α2)= sinα1cosα2+cosα1sinα2. ∵sinα1sinα1cosα2,sinα1cosα1sinα2，即sinα1sinα2. 又由α1，α2，均为锐角，故α1α2. 即x1x2，故②对； 由函数y=f(x)的图像可知，所有满足使2x+= kπ(k∈Z)且y=0的点，均为函数y=f(x)图像的对称点， ∵x=,4sin(2·()+)=0．故③对． 由复合函数的知识可知，y=4sin(-2x+)的递增区间为满足不等式2kπ+≤-2x+≤2kπ+π的 x的集合，故④错． 综合得只有②③正确． 故填②③ 2．函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当方程f(x)+a=0有解时，求a的取值范围； (3)当cos()=时，求f(x)的值． [解题思路] (1)利用辅助角公式，化为一个角的三角函数形式后，用 可求得函数的最小正周期． (2)可转化为求函数的值域问题求解； (3)通过已知条件可求得sin2α，cos2α的值，再求 f(α)的值就不难了． [解答] (1)f(x)=1+cos2α+sin2x=2sin(2x+)+1．∴最小正周期 (2)sin(2x+)=-，要使方程f(x)+a=0有解，则|-|≤1，得-3≤a≤1． (3) 预测角度2 运用三角恒等变形求值 1．若关于x的方程x2-4x·Sinθ+α·tanθ=0(θ有两个相同的实根． (1)求a的取值范围； (2)当a=时，求cos(θ+)的值 [解题思路] (1)利有△=0可得a表示为θ的函数，通过来值域即可得a的取值范围． (2)可先通过第(1)问结果求出sin2θ的值，再运用降幂公式可求得cos2(θ+)的值，再求cos(θ+)的值就容易了． [解答] (1)△=16sin2θ-4a·tanθ=0 ∵ θ，∴sinθ≠0 故4sinθ- ， ∵a=4sinθcosθ=2sin2θ，2θπ, ．·．0sin201，∴0a2． (2)由=2sin2θ， ∴sin2θ= cos()= 而 2．已知θ∈(0，)，sinθ-cosθ=,求的值． [解题思路] 由已知可求得sin2θ及tanθ的值，因此只要把 化为sinθ-cosθ，sin2θ，及tanθ表示的式子，再代入计算即可． [解答] 解法1 把sinθ-cosθ两边平方得 解析2 由已知sin2θ=且2θ∈(,π)． ∴ 3．已知cos(-α),sin(π+β)=-且β∈(0，)，α(π)，求sin(α+β)的值． [解题思路] 注意已知角与未知角之间的联系，即α+β=π+β-(-α)-π． [解答] 由已知，α∈(π)． 所以 预测角度3 向量与三角函数的综合 1．已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=a·b-1． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间． [解题思路] 用向量的数量积的坐标运算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质求解． [解答] (1)f(x)=a·b-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)． (2)令 ∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+]k∈Z. 2．设a=(1+cosα，sinα)，b=(1-cosβ，sinβ)，c=(1，0)α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与b的夹角为θ1，b与c的夹角为的值． [解题思路] 通过向量的夹角公式找到θ1、θ2与α、β的关系，从而得θ1-θ2与α-β的关系，进而求得 sin的值． [解答] 根据题意，co