高中数学单元练习导数及其应用.docVIP

探究开放题预测 预测角度 1 利用导数的几何意义 1．已知抛物线y=-x2+2,过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的面积最小，求l的方程。 [解题思路] 设法用某个变量（如P点横坐标）去表示三角形的面积S，在利用函数关系式求最值就可以解决问题。 [解答] 设P点坐标为（x0,-x20,+2）. ∵y’=-2x，∴过P点的切线方程为： y-(-x20+2)=-2x0(x-x0) ① 令x=0得y=x20-x20+2=x20+20 y=0得x=x0+ ∵S=(x20+2) (x00) = S’=(3x20+4-) 令S’=0得x0= 又∵0x0时，S’0; x时S’0. ∴当x0=时，S最小。 把x0=代入①得l的方程为： 2x+3y-8=0. 2．由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a≠0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2） (P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列{Pn(xn,yn)} 求x1; 求xn与xn+1满足的关系式； 若a0，试判断xn与a的大小关系并说明理由 [解题思路] 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、xn+1的递推关系，通过递推关系求出{xn}的通项公式，最后按n为奇数和偶数两种情况的讨论可得xn与a的大小关系。 [解答] （1）由y=x3-3ax2,得y’=3x2-6ax 过曲线上点P1（x1,y1）的切线L1的斜率为3x21-6ax1. ∴L1的方程为y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1). 又∵L1过原点，故有：-（x31-3ax21）=-x1(3x21-6ax1) ∴2x31=3ax21, ∴x1=a (2)过曲线上的点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程是y-(x3n+1-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1) ∵Ln+1过曲线上点Pn(xn,yn). 故x3n-3ax2n-(x3n+1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1). 即x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1). ∵xn-xn+1≠0, ∴x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1. ∴x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0 ∴(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0. ∴xn+2xn+1=3a. (3)由（2）得xn+1=- ∴xn+1-a=-(xn-a) 故数列{xn-a}是以x1-a=a为首数，公比为-的等比数列。 ∴xn-a=(-)n-1 当n为偶数时，xn-a=-a(-)n0. ∴xna 当n为奇数时，xn-a=-a(-)n0. ∴xna. 预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性 1．已知m∈R,研究函数f(x)=的单调区间 [解题思路] 先求f’(x),再令f’(x)0和f’(x)0可解得函数的递增区间和递减区间。 [解答] 记g(x)=-mx2-(m+3)x-3 ∴ex0,只需g(x)的正负即可。 （1）当m=0时，g(x)=-3x-3. 当g(x)0时，x-1,f’(x)0 当g(x)0时，x-1,f’(x)0 ∴当m=0时，f’(x)的增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞）。 （2）当m≠0时,g(x)有两个根：x1=-,x2=-1. ①当m0时，x1x2,在区间（-∞，-1）∪(-,+∞)上，g(x)0,即f’(x)0. ∴f(x)在（-∞，-1）∪(-,+∞)上是增函数。 在区间（-1，-）上，g(x)0，即f’(x)0. ∴f(x)在（-1，-）上是减函数。 ②当0m3时，x1x2.在区间（-∞，-）∪（-1，+∞）上g(x)0,即f’(x)0. ∴函数f(x)在(-∞, -)∪（-1，+∞）上是减函数，在区间（-，-1）上，g(x)0，f’(x)0. ∴f(x)在（-，-1）上是增函数。 ③m=3时，x1=x2. 在区间(-∞, -1)∪（-1，+∞）上g(x)0，f’(x)0。 ∵f(x)在x=-1处连续。∴f(x)在（-∞，+∞）上是减函数。 当m3时x1x2。在区间(-∞, -1)∪（-，+∞）上，g(x)0，f’(x)0。 ∴f(x)在(-∞, -1)∪（-，+∞）上是减函数。 在区间（-1，-）上，g(x)0，即f’(x)0. ∴f(x)在（-1，-）上是增函数。 2.已知函数f(x)=在x=1处取极值，且函数g(x)= 在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a的取值范围。 [解答] f’(x)=x3-bx2-