高中数学单元测试圆锥曲线预测.docVIP

探究开放题预测 预测角度l 椭圆 1．以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于( ) A． [解题思路] 利用正六边形的性质，求出交点坐标，代入椭圆方程中，可求e． [解答]C 设椭圆方程为 在椭圆上，∴ 2．设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且∠PF1F2PF2F1，若椭圆离心率为，则∠PF1F2：∠PF2F1 为( ) A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l [解题思路] 求角的比，联想到运用正弦定理，转化为焦半径的比，再利用合比性质解三角形． [解答]A 提示：设∠PF1F2=α，则∠PF2F1=90°-α,0α45°，在△PF1F2中，由正弦定理得： 3．已知一椭圆以抛物线x2=2p(y+)的准线为下准线，焦点为下焦点，椭圆和抛物线分别与直线x=在第一象限内交于点A、B，且A为OB的中点(O为原点)． (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆过点(0，5)，求抛物线和椭圆的方程． [解题思路] (1)运用椭圆第二定义；(2)椭圆过点 (0，5)可求出F，运用定义求出两方程． [解答] (1)由已知抛物线的准线为y=-p，焦点为坐标原点，所以椭圆的下准线为y=-p，下焦点为原点O，则点B的坐标是方程组 的解，由方程组得3y2=2py+p2，即3y2-2py-p2=0 解之得yl=p，y2= (舍去) ∴B(p，p)，A()． 由点A在椭圆上，根据椭圆的第二定义有=e (dA为A到椭圆下准线的距离) 即得 (2)椭圆过点(0，5)，故得p=∴抛物线的方程为x2=5(y+) 设M(x，y)为椭圆上任一点，由椭圆下焦点为(0， 0)，下准线为y=-，离心率为． 4．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若=0，求直线PQ的方程； (3)设=λ(λ1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明=-λ． [解题思路] (1)设出椭圆的方程，由a、b、c的关系及|OF|=2|FA|可求．(2)运用设而不求的方法求直线PQ的斜率； (3)运用向量的坐标，将M、E点表示出来，即可求证． [解答] (1)解：由题意，可设椭圆的方程为= 1(a)． 由已知得 解得a=，c=2． 所以椭圆的方程为，离心率e=。 (2)解：由(1)可得A(3，0)． 设直线PQ的方程为y=k(x-3)． 由方程组 得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0，依题意△= 12(2-3k2)0，得-k. 设P(x1，y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=，① x1x2= ② 由直线PQ的方程得y1=k(x1-3)，y2=k(x2-3)．于是 yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]．③ ∵=0, ∴xlx2+y1y2=0． ④ 由①②③④得5k2=1，从而k=． 所以直线PQ的方程为x-y-3=0或x+-3=0 (3)证明：=(x1-3，y1)，=(x2-3，y2)．由已知得 方程组注意λ1，解得x2= 因F(2，0)、M(x1，-y1)，故=(x1-2，-y1)=(λ(x2- 3)+1，-y1)=(,-y1)=-λ(，y2)． 而=(x2-2，y2)=( ，y2)，所以=-λ． 预测角度2 双曲线 1．双曲线=1的左右焦点分别为F1、F2、p是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，则I分线段PQ的比为 ( ) A．2 B [解题思路] 利用双曲线的第一定义及三角形内心的性质求得． [解答]A 设=λ，由内角平分线性质定理知，λ= 又|F1P|-|F2P|=4， ∴|F2P|= ∴|F2Q|= |F2P|=,∴|F1F2|= |F1Q|+|QF2|=|PF2|+|QF2|==6， 解方程，得λ1=-(舍去)，λ2=2，故I分PQ的比为2．选A 2． 2.设A是双曲线(a0，b0)的右顶点,P是双曲线上除顶点外的任一点，过A作两渐近线的平行线分别交直线OP于Q和R两点． (1)求证：|OP|2=|OQ|·|OR|； (2)试确定双曲线上是否存在这样的点P，使得△AQR的面积等于,如果存在，则求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． [解题思路] (1)联立OP与渐近线