2024年新高考数学一轮复习达标检测第50讲抛物线教师版.docVIP

《抛物线》达标检测

[A组]—应知应会

1．已知抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．

【解答】解：抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是：4．

故选：B．

2．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）

A．2 B．3 C．6 D．9

【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．

【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，

因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，

故有：9+＝12?p＝6；

故选：C．

3．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）

A．经过点O B．经过点P

C．平行于直线OP D．垂直于直线OP

【分析】不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．

【解答】解：不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，

不妨设P（1，2），

∴Q（﹣1，2），

设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），

可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，

故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，

故选：B．

4．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上第一象限上的点，B为l上一点，满足，则直线AB的斜率为（）

A． B． C．3 D．

【分析】作出图形，根据抛物线的定义及已知条件可得直线AB的斜率，进而得解．

【解答】解：作出图形，过点A作AD⊥直线l，垂足为D，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，设|AF|＝m，

∵，

∴|FB|＝2|AF|＝2m，

∴，

设直线AB的倾斜角为θ，则，

∴直线AB的斜率为．

故选：D．

5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为（）

A． B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x

【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出A的坐标，利用|AF|＝1，求解p，然后推出抛物线方程．

【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A（p，p），

因为|AF|＝1，所以，

解得p＝．

抛物线C的方程为．

故选：A．

6．焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在△EFP中，sin∠EFP＝sin∠FEP，则|EP|的值是（）

A． B．4 C．2 D．1

【分析】设PE的倾斜角为α，利用已知条件求出α的大小，判断PHEF的形状，然后求解即可．

【解答】解：过P（x轴上方）作准线的垂线，垂足为H，

则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝?sin∠FEP，

则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|＝|PF|，

∴|PE|＝|PH|，

设PE的倾斜角为α，则cosα＝＝＝，

α＝，四边形PHEF是正方形，

所以：|PE|＝2．

故选：A．

7．已知第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点M的坐标为（）

A．（1，﹣8） B．（1，﹣4） C． D．

【分析】由抛物线的性质，可知焦点的距离等于到准线的距离，求出P的横坐标，然后求出点M的坐标．

【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为x＝﹣4，设P的横坐标为x0，

第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，

则，所以x0＝1，

所以y0＝﹣4，所以M（1，﹣4）．

故选：B．

8．抛物线y＝的焦点到圆C：x2+y2﹣6x+8＝0上点的距离的最大值为（）

A．6 B．2 C． D．

【分析】求出拋物线的焦点为F（0，4），圆的圆心坐标与半径，然后求出F到圆C上点的距离的最大值．

【解答】解：拋物线的焦点为F（0，4），

圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为C（3，0），半径r＝1，

F到圆C上点的距离的最大值为．

故选：A．

9．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，直线AB与抛物线C的准线l交于点D，AA1⊥l于A1，若△AA1D的面积等于，则p＝（）

A． B．2 C． D．4

【分析】分别求得抛物线的焦点和准线方程，设出|BF|＝t，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，过B作BN⊥l于N，运用抛物线的定义和三角形相似的性质，以及三角形的面积