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第37讲数列的综合应用(达标检测)
[A组]—应知应会
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为
A.13 B.14 C.15 D.16
2.已知数列的通项公式,为数列的前项和,满足,则的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.5
3.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为“远望魏巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,”“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增),根据此诗,可以得出塔的第四层灯的数量为
A.12 B.24 C.48 D.96
4.对于数列,若存在常数,使对任意,都有成立,则称数列是有界的.若有数列满足,则下列条件中,能使有界的是
A. B.
C. D.
5.已知数列的前项和为,且,,若,则称项为“和谐项”,则数列的所有“和谐项”的平方和为
A. B. C. D.
6.如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成(数列的项数大于,且所有项数之和为,那么称该数列为“型标准数列”,例如,数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”,则“5336型标准数列”的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层,每一层的数量是它下一层的2倍,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.已知该处共有1016个“浮雕像”,则正中间那层的“浮雕像”的数量为
A.508 B.256 C.128 D.64
8.设等差数列的前项和为,若,,则满足的最小正整数的值为
A.1010 B.1011 C.2020 D.2021
9.等差数列的前项和为,,,则满足的
A.50 B.51 C.100 D.101
10.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为,则的通项公式为
A.
B.,且(1),(2)
C.
D.
11.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢”,翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天大鼠加倍,小鼠减半,则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为130尺,则在第几天墙才能被打穿?
A.6 B.7 C.8 D.9
12.已知等比数列的公比为3,前项和为,若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解,则的取值范围为
A.,, B.,,
C.,, D.,,
13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.以此类推,假设个月后共有老鼠只,则.
14.已知数列中,,,,若对任意正整数恒成立,则实数的取值范围是.
15.十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”,斐波那契数列满足以下关系:,,,记其前项和为.
(1).
(2)设,,为常数),.
16.定义:数列,满足,则称数列为的“友好数列”.若数列的通项公式,,则数列的“友好数列“的通项公式为;记数列的前项和为.且,则的取值范围是.
17.已知是首项不为1的正项数列,其前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求证:.
18.已知数列满足.
(1)求数列的通项;
(2)设,求数列的前项和,当对一切正整数恒成立时,求实数的取值范围.
19.已知数列满足,,数列是公比为正数的等比数列,,且,,8成等差数列.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.
(Ⅲ)若数列满足,求证:.
20.各项为正数的数列如果满足:存在实数,对任意正整数,恒成立,且存在正整数,使得或成立,则称数列为“紧密数列”,称为“紧密数列”的“紧密度”.已知数列的各项为正数,前项和为,且对任意正整数,,,为常数)恒成立.
(1)当,,时,
①求数列的通项公式;
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”;
(2)当时,已知数列和数列都为“紧
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