2024年新高考数学一轮复习达标检测第36讲数列的综合应用学生版.docVIP

第37讲数列的综合应用（达标检测）

[A组]—应知应会

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为

A．13 B．14 C．15 D．16

2．已知数列的通项公式，为数列的前项和，满足，则的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．5

3．明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，”“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为

A．12 B．24 C．48 D．96

4．对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的．若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是

A． B．

C． D．

5．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为

A． B． C． D．

6．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于，且所有项数之和为，那么称该数列为“型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为

A．508 B．256 C．128 D．64

8．设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为

A．1010 B．1011 C．2020 D．2021

9．等差数列的前项和为，，，则满足的

A．50 B．51 C．100 D．101

10．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为

A．

B．，且（1），（2）

C．

D．

11．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿？

A．6 B．7 C．8 D．9

12．已知等比数列的公比为3，前项和为，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则的取值范围为

A．，， B．，，

C．，， D．，，

13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则．

14．已知数列中，，，，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是．

15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为．

（1）．

（2）设，，为常数），．

16．定义：数列，满足，则称数列为的“友好数列”．若数列的通项公式，，则数列的“友好数列“的通项公式为；记数列的前项和为．且，则的取值范围是．

17．已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：．

18．已知数列满足．

（1）求数列的通项；

（2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围．

19．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

（Ⅲ）若数列满足，求证：．

20．各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数，恒成立，且存在正整数，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前项和为，且对任意正整数，，，为常数）恒成立．

（1）当，，时，

①求数列的通项公式；

②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；

（2）当时，已知数列和数列都为“紧