2024年新高考数学一轮复习达标检测第36讲数列的综合应用教师版.docVIP

第37讲数列的综合应用（达标检测）

[A组]—应知应会

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为

A．13 B．14 C．15 D．16

【分析】根据题意，设每日所织数量构成数列，分析可得数列为成等差数列，且，，据此可得数列的首项与公差，计算可得答案．

【解答】解：由题意可知，设每日所织数量构成数列，则数列为成等差数列，且，，

设其公差为，由，得，解可得，

又由，得，变形可得，则，

故．

故选：．

2．已知数列的通项公式，为数列的前项和，满足，则的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】首先把数列的关系式进行变换，进一步利用裂项相消法求和求出数列的和，解不等式可得所求最小值．

【解答】解：数列的通项公式，

所以．

由于满足，

所以，解得，

所以的最小值为5．

故选：．

3．明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，”“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为

A．12 B．24 C．48 D．96

【分析】由题意利用等比数列的通项公式、前项和公式，求出首项，可得塔的第四层灯的数量的值．

【解答】解：由题意每一层的灯数成等比数列，公比为，

前7项的和为，求得，

故塔的第四层灯的数量，

故选：．

4．对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的．若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是

A． B．

C． D．

【分析】通过定义逐项分析真假即可．

【解答】解：对于选项，假设有界，即存在常数，对任意，都有，，

则．由于左边递增到无穷大，而右边为常数，从而项错误；

同理，项，错误；

对于项，时，，累加可得，，，，显然不是有界的；

对于选项，，，

累乘可得，，从而，正确．

故选：．

5．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为

A． B． C． D．

【分析】根据得出，然后两式相减，得出，再然后根据得出以及最后根据“和谐项“的定义得出，通过等比数列前项和公式求和即可得出结果．

【解答】解：因为，所以，则，即，，

所以，因为，所以，

故，

因为，所以，

于是数列的所有“和谐项“的平方和为：

，

故选：．

6．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于，且所有项数之和为，那么称该数列为“型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据已知条件“型标准数列”，则“5336型标准数列”的公差为1和所有项的和为5336．

【解答】解：由题意知，

，且一奇一偶，

，，，，共三组．

故选：．

7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为

A．508 B．256 C．128 D．64

【分析】根据题意，假设从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，分析可得是以2为公比的等比数列，共有7项且；由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，假设从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，

又由“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，且该处共有1016个“浮雕像”，则是以2为公比的等比数列，共有7项且；

则有，解可得，

则正中间那层的“浮雕像”的数量即；

故选：．

8．设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为

A．1010 B．1011 C．2020 D．2021

【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列的前项公式，可得，，进一步得到答案．

【解答】解：根据题意，等差数列中，若，，

则，

，

故满足的最小正整数的值为2020；

故选：．

9．等差数列的前项和为，，，则满足的

A．50 B．51 C．100 D．101

【分析】由题意和等差数列的性质可得；，进而可得，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，等差数列中，，，

则有，则有；

又由，则有；

则有，

若，必有；

故选：．

10．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，，此数列从第