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高等数学课程1(2) 高等数学课程1(2) 第八章 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 定理1. 三、空间直角坐标系 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例2. 例3. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例4. 求证以 例5. 在 z 轴上求与两点 提示: 2. 方向角与方向余弦 例7. 已知两点 例8. 设点 A 位于第一卦限, 3.向量在轴上的投影 六、小结 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 方向余弦的性质: 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 向量 称为向量 在u轴上的分向量. 设 则数 称为向量 在u轴上的投影. 记作 或 由此向量 的坐标 * 闫红梅 高等数学 沈阳建筑大学 理学院 数学2教研室 高等数学1(2) 下册 多元函数、极限、连续、偏导数、 全微分、偏导数应用 二重积分、三重积分及应用 无穷级数 向量代数与空间解析几何 曲线积分、曲面积分及应用 高等数学1(2) 必修，本学期96学时，考试课，6学分 平时成绩占20% 期末成绩 期末卷面占80% 出勤6分满 测验8分满 作业6分满 （一般平时成绩平均分16分） 要求 1、保证出勤，认真听懂课，不懂处及时 问,学会问. 2、课后复习，及时并独立完成作业. 3、临上课前一天看书了解学过知识. 4、关键处记笔记，学会归纳整理，不欠债. 5、选一本合适的参考书. 6、经常翻看上册书(求导\求积的公式和方法. 答疑 质疑 ︵ 节 日 休 息 ︶ 时间：星期一 7—8节 (暂定) 地点：E3馆-208\209 教师：数学2教研室教师轮流值班制 人员：信息学院、机械学院的学生 交作业时间：每星期三 下午 E3馆-208室 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八章 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 三角不等式 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , “ ” 则 注：定理1是建立数轴的理论依据. 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 设点O及单位向量 确定数轴ox. 由定理1，必有唯一的实数x，使 实数x叫做数轴上有向线段 的值. 与实数x 一 一对应. 向量 实数x （实数x叫做数轴上点P的坐标） 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 练习：化简 化简 解 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴