专题10：2025年上海中考数学二模试题分类汇编——相似三角形、四边形、圆的证明（23题）（解析版）.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

2025年上海中考数学二模试题分类汇编——相似三角形、四边形、圆的证明（23题）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E．

(1)求证：；

(2)当时，求证：四边形是菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键：

（1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论；

（2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∴．

又∵，，

∴．

又∵，

∴．

∴

∴

∴

（2）∵四边形是平行四边形，

∴，

∴

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

2．（2025·上海宝山·二模）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，，且．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)如果，求证：．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析．

【分析】根据平行四边形的性质可证，根据可得，从而可证，根据相似三角形的性质可证，根据等角对等边可证结论成立；

过点作，根据菱形的性质可得，设，可得：、，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形且，从而可证结论成立．

【详解】（1）证明：如下图所示，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形；

（2）证明：如下图所示，过点作，

四边形是菱形，

，

又，，

设，

，

，

则，

，

，

，

∴，，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．解决本题的关键是根据菱形的性质找边、角之间的关系．

3．（2025·上海浦东新·二模）已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）联结，根据正方形的性质先证，再证四边形是平行四边形，进而可证明，得，四边形是平行四边形，结合可证得结论；

（2）根据正方形及菱形的性质先证，得，由，可证得，得，再证，得，，再证，得，即可证得结论．

【详解】（1）证明：联结，

∵四边形是正方形，

∴，，，，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形

又∵，即，

∴平行四边形是菱形；

（2）证明：∵四边形是正方形，是对角线

∴，，

由（1）得四边形是菱形，

∴，则，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，则，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．

4．（2025·上海嘉定·二模）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点．

(1)求证：；

(2)求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．????

（1）证明，，由即可得到结论；

（2）证明∽，则，得到，即可证明结论．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴//，，

∵//，

∴

∵是边的中点，

∴

∴

∵，

∴，

∵//，

∴，

在中，∵是斜边的中点，

∴，

∴

∵，，是边的中点，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）∵，，

∴，

又∵，

∴∽，

∴，

即，

∵，

∴．

5．（2025·上海闵行·二模）已知，如图：在平行四边形中，对角线交于点，点是边延长线上一点，连接，交于点，交于点．

(1)求证：；

(2)连接，如果，求证：四边形是菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似．

（1）证明，，得到，，进而得到，即可得证；

（2）证明，推出，进而得到，即可得证．

【详解】（1）证明：∵平行四边形中，

∴，，

∴，，

∴