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条件概率及全概率公式练习题

引言

条件概率与全概率公式是概率论中极为重要的基础概念与工具，它们不仅是理解随机现象复杂性的钥匙，也是后续学习贝叶斯公式、随机变量独立性等内容的基石。掌握这些概念，能够帮助我们更精准地分析和解决实际生活与科学研究中遇到的概率问题。通过适量的练习，熟悉其应用场景与解题思路，是深化理解的关键。本文精心编排了若干练习题，旨在帮助读者巩固相关知识，提升运用能力。

一、基础练习题

练习题1

题目：某班级有学生若干名，其中男生占比为a，女生占比为b（a+b=1）。已知男生中喜欢数学的比例为c，女生中喜欢数学的比例为d。现从该班级中随机抽取一名学生，求该学生喜欢数学的概率。若已知抽取的学生喜欢数学，求该学生是男生的概率。（注：此处a,b,c,d均为0到1之间的常数，具体数值可自行设定以辅助理解，如a=0.6,b=0.4,c=0.7,d=0.5）

解答与分析：

首先，我们定义事件：

A：抽取的学生是男生

B：抽取的学生是女生

C：抽取的学生喜欢数学

由题意可知，P(A)=a，P(B)=b，P(C|A)=c，P(C|B)=d。A与B是互斥且完备的事件组，即它们两两互斥，且其并集为整个样本空间。

要求随机抽取一名学生喜欢数学的概率P(C)，这恰好是全概率公式的应用场景。根据全概率公式：

P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=c*a+d*b。

接下来，若已知抽取的学生喜欢数学，求该学生是男生的概率，即求P(A|C)。这需要用到贝叶斯公式（贝叶斯公式是条件概率和全概率公式的结合应用）：

P(A|C)=P(C|A)P(A)/P(C)=(c*a)/(c*a+d*b)。

分析：本题直接考察了全概率公式的基本应用以及贝叶斯公式的思路。全概率公式的核心在于将一个复杂事件分解为若干个互斥简单事件的并，再利用乘法公式求得该复杂事件的概率。

练习题2

题目：一个盒子中有m个白球和n个黑球（m,n均为正整数）。从中无放回地先后摸出两个球。求：

(1)第二次摸到白球的概率；

(2)已知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率。

解答与分析：

定义事件：

A?：第一次摸到白球

A?：第二次摸到白球

(1)求第二次摸到白球的概率P(A?)。直接计算A?的概率似乎不易，因为第一次摸球的结果会影响第二次。此时，第一次摸球的结果（A?或其对立事件，记为ā?：第一次摸到黑球）构成了一个完备事件组。根据全概率公式：

P(A?)=P(A?|A?)P(A?)+P(A?|ā?)P(ā?)

P(A?)=m/(m+n)，P(ā?)=n/(m+n)

若第一次摸到白球（A?发生），则盒中剩余m-1个白球和n个黑球，故P(A?|A?)=(m-1)/(m+n-1)

若第一次摸到黑球（ā?发生），则盒中剩余m个白球和n-1个黑球，故P(A?|ā?)=m/(m+n-1)

因此，P(A?)=[m/(m+n)]*[(m-1)/(m+n-1)]+[n/(m+n)]*[m/(m+n-1)]=[m(m-1)+mn]/[(m+n)(m+n-1)]=[m(m-1+n)]/[(m+n)(m+n-1)]=m(m+n-1)/[(m+n)(m+n-1)]=m/(m+n)。

这个结果很有趣，它表明在无放回抽样中，第二次摸到白球的概率与第一次摸到白球的概率相等，这体现了抽签的公平性。

(2)已知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率，即P(A?|A?)。由(1)的分析可知，此时盒中球数变为m+n-1个，其中白球m-1个，故P(A?|A?)=(m-1)/(m+n-1)。这是条件概率的直接应用，基于已知A?发生后样本空间的缩减。

分析：本题第(1)问是全概率公式的经典应用，通过考虑第一次试验的所有可能结果来计算第二次试验的概率。第(2)问则是条件概率的直接计算，关键在于理解“在A?发生的条件下”意味着样本空间已经发生了变化。

二、综合应用题

练习题3

题目：某工厂有甲、乙、丙三台机器生产同一种产品，它们的产量分别占总产量的p%、q%、r%（p+q+r=100），且它们的次品率分别为s%、t%、u%。现从该厂生产的产品中随机抽取一件，发现是次品。求该次品分别由甲、乙、丙机器生产的概率。

解答与分析：

定义事件：

A：抽到的产品是次品

B?：产品由甲机器生产

B?：产品由乙机器生产

B?：产品由丙机器生产

已知P(B?)=p/100，P(B?)=q/100，P(B?)=r/100。P(A|B?)=s/100，P(A|B?)=t/100，P(A|B?)=u/100。B?、B?、B?构