专题04 利用基本不等式求最值（压轴题8大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（原卷版）.docxVIP

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专题04利用基本不等式求最值

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TOC\o1-2\h\u典例详解 1

类型一、常数代换法 1

类型二、变形后利用常数代换法 2

类型三、二次（一次）商式的最值 2

类型四、消参法 3

类型五、换元法 4

类型六、双换元法 4

类型七、多次使用基本不等式 4

类型八、多元型 5

压轴专练 5

类型一、常数代换法

形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.

一、填空题

1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为．

2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正数，满足，则的最小值为．

3．（24-25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值.

4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是.

5．（24-25高一上·天津武清·期末）已知，则的最小值为.

类型二、变形后利用常数代换法

1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型.

形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解.

2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解.

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配.

3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解.

一、填空题

1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为.

2．（24-25高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是.

3．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是.

4．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知，，，则的最小值为.

5．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为.

6．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为.

类型三、二次（一次）商式的最值

1、形如，当且仅当时等号成立；

2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型

一、填空题

1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.

2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为.

3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是．

类型四、消参法

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

一、单选题

1．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（????）

A．3 B．5 C．6 D．12

2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（???）

A．11 B．10 C．9 D．8

3．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（????）

A．15 B．18 C．24 D．36

二、填空题

4．（24-25高一上·江西南昌·月考）已知，若，则的最小值为．

5．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为.

类型五、换元法

一、单选题

1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

二、填空题

2．（2024高一·全国·专题练习）设x、y为实数，若，则的最大值是．

3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为.

4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为

类型六、双换元法

一、填空题

1．已知，，，则的最大值为．

2．已知，则的取值范围是．

3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为．

类型七、多次使用基本不等式

多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.

一、填空题

1．（24-25高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为.

2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为.

3．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为，的最小值为.

类型八、多元型

一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：

从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体