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无穷小乘以有界函数等于无穷小的条件

一、定理的严格表述与条件

定理：在某一极限过程（如、、等）中，若函数

是无穷小量（即），函数是有界函数（即存在常数

，使得在该过程中恒成立），则它们的乘积仍

是无穷小量（即）。

核心条件拆解

1.同一极限过程：和必须在同一个变化过程中讨论（如

均为，或均为）。

2.无穷小的定义：在该过程中极限为（如时，

都是无穷小）。

3.有界函数的定义：存在正数，使得的绝对值在整个过程

中不超过（如都是有界函数，因为，

）。

二、定理的应用意义

该定理是求极限的“简化工具”，核心作用是：当极限式中出现“无穷小量×

有界函数”的结构时，可直接判定结果为无穷小量（即极限为0），无需复杂计算。

常见应用场景：

处理含三角函数的极限（如）；

处理含反三角函数的极限（如）；

处理振荡型有界函数与无穷小的乘积（如）。

三、典型例题与解析

以下例题按难度梯度和易错点分类，覆盖核心应用场景。

类型1：基础应用（直接识别“无穷小×有界”）

例题1：求极限。解析：

无穷小量：时，是无穷小（）；

有界函数：中，无论如何变化（），（正

弦函数的值域为）；

结论：由定理，。

例题2：求极限。解析：

变形为；

无穷小量：时，，是无穷小；

有界函数：，有界；

结论：。

类型2：含反三角函数的应用

例题3：求极限。解析：

无穷小量：时，，是无穷小；

有界函数：中，无论正负，的值域为

，故（有界）；

结论：。

例题4：求极限（为正整数）。解析：

先看：当时，，是无穷小；

再看：的值域为，故

（有界）；

结论：乘积为无