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判断函数单调性的方法

要判断函数的单调递增或单调递减，需从定义、导数法（核心工具）、分段函数处理、严格与非严格区分等角度系统分析，以下是详细结论及应用指南：

一、核心结论：函数单调性的判断方法

函数的单调性描述了自变量变化时函数值的变化趋势，分为单调递增（自变量增大，函数值不减小）、单调递减（自变量增大，函数值不增大）两类，严格单调则是趋势的“严格化”（无等号）。

1.定义法：最基础的单调性判定

定义：设函数在区间上有定义，对任意：

若，则在上单调递增（非严格）；

若，则在上严格单调递增；

若，则在上单调递减（非严格）；

若，则在上严格单调递减。

证明步骤（以严格递增为例）：①任取，且；②计算差值；③变形差值（因式分解、配方、通分等），判断其符号；④若差值恒正，则严格递增；若恒负，则严格递减。

示例：证明在上严格递增。

任取，则；

因，且（仅当时取等，而，故严格正）；

因此，即严格递增。

2.导数法：最常用的单调性判定（核心工具）

定理：设函数在区间上可导（连续且导数存在），则：

若对所有成立，则在上严格单调递增；

若对所有成立，则在上严格单调递减；

若且仅在孤立点（如处的）成立，则仍严格单调递增；

若且仅在孤立点成立，则仍严格单调递减。

注意：

导数为0的点不影响单调性（如在处导数为0，但仍严格递增）；

若导数在区间内恒为0（如常数函数），则函数不单调（无增减趋势）。

示例：判断的单调性。

求导得；

当时，，故在上严格单调递减；

当时，，故在上严格单调递增；

处导数为0，但不影响单调性（仅为极值点）。

3.分段函数的单调性：分段判断+连续性验证

分段函数的单调性需逐段分析，再通过分界点的连续性判断是否能合并单调区间。

步骤：①对每一段解析式，用定义法或导数法判断单调性；②检查分段点处的连续性（左极限=右极限=函数值）；③若连续且各段单调性一致（如均递增），则合并为一个单调区间；若不连续，则需比较分界点处的函数值，判断是否能合并。

示例：判断f(x)=x+1,

当时，f(x)=x+1，导数f(x)=10，严格递增；

当时，f(x)=x2，导数f(x)=2x≥0，严格递增（时）；

分段点x=0处，左极限limx→0?f(x)=1

因此，f(x)在(?∞,0)上严格递增，在[0,+∞)上严格递增，但不能合并

4.严格单调与非严格单调的区别

类型

定义

示例

严格单调递增

x

f(x)=x3

非严格单调递增

x

f(x)=x2（x≥0）、常数函数

严格单调递减

x

f(x)=?x3

非严格单调递减

x

f(x)=?x2（

关键区别：

严格单调无等号（函数值随自变量严格变化）；

非严格单调允许等号（函数值可保持不变，如常数函数，但常数函数通常视为不单调，因无增减趋势）。

二、应用指南：如何快速判断函数单调性？

先看导数：若函数可导，优先用导数法（计算快、易判断）；

分段处理：分段函数逐段分析，再验证分界点连续性；

严格vs非严格：若导数仅在孤立点为0，仍为严格单调；若导数恒为0，则不单调；

图像辅助：通过函数图像（如y=x2

三、常见误区与注意事项

误区1：导数为0的点一定改变单调性？错！如f(x)=x3在x=0处导数为0，但仍严格递增（导数为0的点是

误区2：分段函数的单调区间可直接合并？错！需验证分界点的连续性（如f(x)=x,x0x+1,

误区3：常数函数是单调函数？错！常数函数（如f(x)=5）无增减趋势，不单调（非严格单调的定义要求“允许等号”，但常数函数无变化，故不属于单调函数）。

四、总结：函数单调性的判断流程

确定定义域：函数的单调性仅在定义域内讨论；

选择方法：可导函数用导数法，不可导函数用定义法；

分段分析：分段函数逐段判断，验证分界点连续性；

严格判断：通过导数符号或差值符号，确定严格/非严格单调；

结论：写出单调区间（如f(x)=x2在(?∞,0)递减，

通过以上方法，可系统判断函数的单调性，解决如求极值、解不等式、证明方程根的存在性等问题。如需进一步练习，可参考教材中的例题（如f(x)=lnx、

经典例题

例题1：证明函数f(x)=x+1x在区间

解析：

取值：任取，且。

作差：

f(

变形：通分后整理为：

(

定号：

；

x1

分母x1x2

结论：f(x)在(0,1]上单调递减。

例题2：判断函数f(x)=x2+1

解析：

求导：f(x)=2x。

分析导数符号：

当时，f(x)=2x0。

结论：函数在上单调递增。

例题3：已知函数f(x)=e

解析：

求导：

f(