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判断函数单调性的方法

要判断函数的单调递增或单调递减，需从定义、导数法（核心工具）、分段

函数处理、严格与非严格区分等角度系统分析，以下是详细结论及应用指南：

一、核心结论：函数单调性的判断方法

函数的单调性描述了自变量变化时函数值的变化趋势，分为单调递增（自变

量增大，函数值不减小）、单调递减（自变量增大，函数值不增大）两类，严格

单调则是趋势的“严格化”（无等号）。

1.定义法：最基础的单调性判定

定义：设函数在区间上有定义，对任意：

若，则在上单调递增（非

严格）；

若，则在上严格单调递增；

若，则在上单调递减（非

严格）；

若，则在上严格单调递减。

证明步骤（以严格递增为例）：任取，且；计

①②

算差值；③变形差值（因式分解、配方、通分等），判断其符

号；若差值恒正，则严格递增；若恒负，则严格递减。

④

示例：证明在上严格递增。

任取，则

；

因，且

（仅当时取等，而，故严格正）；

因此，即严格递增。

2.导数法：最常用的单调性判定（核心工具）

定理：设函数在区间上可导（连续且导数存在），则：

若对所有成立，则在上严格单调

递增；

若对所有成立，则在上严格单调

递减；

若且仅在孤立点（如处的

）成立，则仍严格单调递增；

若且仅在孤立点成立，则仍严格单

调递减。

注意：

导数为0的点不影响单调性（如在处导数为0，

但仍严格递增）；

若导数在区间内恒为0（如常数函数），则函数不单调（无

增减趋势）。

示例：判断的单调性。

求导得；

当时，，故在上严格单调递

减；

当时，