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无穷小乘以有界函数等于无穷小的条件

一、定理的严格表述与条件

定理：在某一极限过程（如、、等）中，若函数是无穷小量（即），函数是有界函数（即存在常数，使得在该过程中恒成立），则它们的乘积仍是无穷小量（即）。

核心条件拆解

同一极限过程：和必须在同一个变化过程中讨论（如均为，或均为）。

无穷小的定义：在该过程中极限为（如时，都是无穷小）。

有界函数的定义：存在正数，使得的绝对值在整个过程中不超过（如都是有界函数，因为，）。

二、定理的应用意义

该定理是求极限的“简化工具”，核心作用是：当极限式中出现“无穷小量×有界函数”的结构时，可直接判定结果为无穷小量（即极限为0），无需复杂计算。

常见应用场景：

处理含三角函数的极限（如）；

处理含反三角函数的极限（如）；

处理振荡型有界函数与无穷小的乘积（如）。

三、典型例题与解析

以下例题按难度梯度和易错点分类，覆盖核心应用场景。

类型1：基础应用（直接识别“无穷小×有界”）

例题1：求极限。解析：

无穷小量：时，是无穷小（）；

有界函数：中，无论如何变化（），（正弦函数的值域为）；

结论：由定理，。

例题2：求极限。解析：

变形为；

无穷小量：时，，是无穷小；

有界函数：，有界；

结论：。

类型2：含反三角函数的应用

例题3：求极限。解析：

无穷小量：时，，是无穷小；

有界函数：中，无论正负，的值域为，故（有界）；

结论：。

例题4：求极限（为正整数）。解析：

先看：当时，，是无穷小；

再看：的值域为，故（有界）；

结论：乘积为无穷小，极限为。

类型3：稍复杂变形（需先化简出“无穷小×有界”结构）

例题5：求极限。解析：

先化简分式：；

当时，分子，分母，故（无穷小）；

而是有界函数（）；

结论：。

例题6：求极限（）。解析：

等价无穷小替换：当时，，，故原式化简为？注意！这里不能直接约简后判断，需回到原结构；

正确步骤：原式；

先算：当时，，，故（非零常数）；

但是有界函数（）；

等等，这里其实不是“无穷小×有界”，而是“常数×有界”？不对，重新检查：

修正：原式应为，其中，有界但极限不存在（振荡），所以此时不能用“无穷小×有界”定理，而是结果为“有界量×常数”，极限不存在（振荡于[-1,1]）。

关键提醒：定理仅适用于“无穷小×有界”，若其中一个因子不是无穷小（如本题中的），则不能直接用定理！

类型4：易错点辨析（“有界≠无穷小”“振荡有界函数的处理”）

例题7：判断对错：“时，是无穷小量，而不是无穷小量”。解析：

前半句正确：时，是无穷小，有界，乘积是无穷小；

后半句错误：时，是无穷小，也是无穷小（），两个无穷小的乘积仍是无穷小（更强的结论），故是无穷小量。

例题8：求极限。解析：

时，（无穷小），有界（）；

结论：（无穷小×有界）。

四、注意事项与常见误区

误区1：认为“有界函数×无穷小”的结果一定存在且为0，但忽略了“同一极限过程”。

反例：若（时为无穷小），（时有界），乘积（正确）；但若（时不是无穷小），（时有界吗？时，仍有界，但不是无穷小，乘积极限为（不存在），此时定理不适用。

误区2：混淆“有界函数”与“无穷小量”。

有界函数不一定是无穷小（如在时有界但非无穷小）；无穷小量一定是有界函数（如时，是无穷小且有界，当）。

误区3：对“振荡有界函数”（如）的处理。

这类函数虽然极限不存在（振荡），但只要绝对值有界，与无穷小相乘后仍为无穷小（如例题1中的）。

五、总结

“无穷小×有界函数=无穷小”是极限计算中的高频工具，核心是抓住“同一极限过程中，一个因子趋于0，另一个因子绝对值有界”。应用时需注意：

先识别“无穷小”和“有界函数”；

确认两者在同一极限过程中；

直接得出结果“0”，避免复杂展开。

通过大量练习（如含三角函数、反三角函数的极限），可熟练运用该定理简化计算，提升解题效率。