北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期中练习数学试题（含解析）.docxVIP

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北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期中练习数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（???）

A． B． C． D．

2．设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．椭圆的短轴长为

A． B． C．2 D．4

4．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

A． B． C． D．

5．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（????）

A．1 B．2

C．3 D．4

6．如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①；②；③；④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．错误的结论是（????）

??

A．① B．② C．③ D．④

7．正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

8．已知为圆上一点，、，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

9．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为

A． B． C． D．

10．如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论：

①存在点P，使得；

②的面积越来越小；

③四面体的体积不变．

其中，所有正确结论的个数是（????）．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

11．若直线与直线互相垂直，则实数=

12．如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为．

13．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于.

14．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为时，的面积是.

15．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是.

三、解答题

16．已知点，圆.

(1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程；

(2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值.

17．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.

??

(1)证明：；

(2)若，求二面角的余弦值；

(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离.

18．已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.

19．如图，已知斜三棱柱中，平面底面，，，，又，，点为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)设线段的中点为，设直线与平面相交于点，求线段的长度.

20．椭圆的一个焦点为，且过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线与椭圆C交于两点，，为坐标原点，若为直角三角形，求直线l的斜率.

21．将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.

(1)当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；

(2)若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；

(3)对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.

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《北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期中练习数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

A

C

B

D

C

C

A

D

1．C

【分析】借助空间直角坐标系性质计算即可得.

【详解】关于平面对称的两点横、纵坐标相等，竖坐标相反，

故点关于平面的对称点的坐标为.

故选：C.

2．A

【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，

两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

∵当两条直线平行时，得到，

解得a=﹣2，a=1，

∴后者不能推出前者，

∴前者是后者的充分不必要条件．

故选A．

考点：必要条