第四章正态分布.pptVIP

第四章正态分布第1页，共47页，星期日，2025年，2月5日

正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布.进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.第一节正态分布的密度函数第2页，共47页，星期日，2025年，2月5日

式中?为实数,?0.则称X服从参数为?,?2的正态分布,亦称高斯分布.记为N(?,?2).可表为X～N(?,?2).图象见右上角若随机变量X的密度函数为一.一般正态分布1.定义第3页，共47页，星期日，2025年，2月5日

(1)单峰对称密度曲线关于直线x=?对称f(?)＝maxf(x)＝正态分布有两个特性：(2)?的大小直接影响概率的分布?越大,曲线越平坦;?越小，曲线越陡峻.正态分布也称为高斯(Gauss)分布第4页，共47页，星期日，2025年，2月5日

二.标准正态分布参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。其密度函数为第5页，共47页，星期日，2025年，2月5日

分布函数为(1)?(0)=0.5(2)?(+∞)＝1；(3)?(x)＝1－?(－x).x一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅?(x)的值.(P328附表1)如,若X~N（0,1),?(0.5)=0.6915,P{1.32X2.43}=?(2.43)-?(1.32)=0.9925－0.9066第6页，共47页，星期日，2025年，2月5日

(一)一般正态分布N(?,?2)正态分布的数字特征第7页，共47页，星期日，2025年，2月5日

(二)标准正态分布N(0,1)第8页，共47页，星期日，2025年，2月5日

若X～N(?,?2),?0,则有三.一般正态分布概率的计算一般地,有第9页，共47页，星期日，2025年，2月5日

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例2.设X?N(?,?2),求P{?-3?X?+3?}本题结果称为3?原则.在工程应用中,通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|3}的值.如在质量控制中,常用标准指标值±3?作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.第11页，共47页，星期日，2025年，2月5日

随机变量标准化第12页，共47页，星期日，2025年，2月5日

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例5一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中第14页，共47页，星期日，2025年，2月5日

第15页，共47页，星期日，2025年，2月5日

一.一般正态分布N(?,?2)第二节正态分布的数字特征第16页，共47页，星期日，2025年，2月5日

二.标准正态分布N(0,1)第17页，共47页，星期日，2025年，2月5日

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例2设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)第19页，共47页，星期日，2025年，2月5日

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为什么?第22页，共47页，星期日，2025年，2月5日

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习作题1.设随机变量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望2设随机变量相互独立,且均服从分布,求随机变量的数学期望答:答:第28页，共47页，星期日，2025年，2月5日

1.设随机变量X?B（12,0.5),Y?N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.2.某单位招聘2500人,按考试成