北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练一数学试题（含解析）.docxVIP

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北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练一数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，，则（????）

A． B． C． D．

2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（???）

A． B．

C． D．

3．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（???）

A． B． C． D．

4．已知，，则下列不成立的是（????）

A． B．

C． D．

5．若满足，，，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知均为第二象限角，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

8．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（????）

A． B． C． D．

9．已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（????）

A．存在，使得的点C有且只有一个

B．任意，使得的点C至少一个

C．存在，使得的点C有且仅有两个

D．任意，使得的点C最多两个

10．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（???）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．已知，则．

12．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是.

13．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

14．已知函数具有下列性质：

①当时，都有；

②在区间上，单调递增；

③是偶函数．

则；函数可能的一个解析式为．

15．已知函数，其定义域记为集合D，，给出下列四个结论：

①；

②若，则；

③存在，使得；

④对任意a，存在b使得．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．已知函数.

(1)若，求的最小值；

(2)若存在极小值，求的取值范围.

17．已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.

18．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论在区间上的零点个数；

(3)若，其中，求证：.

19．设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.

(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；

(2)若为集合的“相关数”，证明：；

(3)给定正整数.求集合的“相关数”的最小值.

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《北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练一数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

A

D

C

C

B

C

D

B

1．B

【分析】先求出集合的补集，再结合交集运算进行求解.

【详解】因为，，，所以；

所以.

故选：B.

2．D

【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.

【详解】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误；

对于B，函数的定义域为，

由于为偶函数，故B错误；

对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数，

且在单调递增，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

由，故函数为奇函数，

因为，

所以函数在单调递增，故D正确.

故选：D.

3．A

【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.

【详解】由题知对一切成立，

于是.

故选：A

4．D

【分析】根据题设条件可得，，故可判断B的正误，结合基本不等式可判断AC的正误，利用不等式的性质结合指数函数的单调性可判断D的正误.

【详解】因为，故，同理.

由题设有，故，

而，故即，故B必成立，

对于A，由基本不等式可得，

而，故等号不可取，故，故A必成立；

对于C，，故C必成立；

对于D，因为，故，，

故不成立，故D不成立.

故选：D.

5．C

【分析】就、结合函数的单调性分类讨论后可求参数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】当时，在上为减函数，

故，当时，有，符合题意；

当时，在上为增函数，在上为增函数，

当时即时，的图象如图所示：

则存在