第01讲 平面向量的线性运算及其坐标表示（八大重难点）（原卷版）.docxVIP

2024-2025学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第二册）

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第01讲平面向量的线性运算及其坐标表示

一、向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

（2）结合律：

减法

减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

数乘

求实数与向量的积的运算

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，

；

；

共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得

三点共线向量表示的两个结论：

结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.

结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.

二、平面向量的基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.

其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

三、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.

四、平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设，则

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设，则

4.平面向量共线的坐标表示

设则

重难点01向量加减法的几何意义

【解题必备】

基于三角形法则与平行四边形法则构造图形，通过平移向量将几何问题转化为代数运算

例1．（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出；

（2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出．

例2．已知，求的取值范围．

【跟踪练习】

练习1．在中，，则是（????）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

练习2．设是非零向量，则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

练习3．如图，已知向量、、，作出下列向量；

(1)，，；

(2)和．

练习4．已知非零向量满足，则.

重难点02向量的线性运算

【解题必备】

向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用.

例3．下列各式中不能化简为的是（????）

A． B．

C． D．

例4．在所在平面中有一点P满足，且，则（???）

A． B． C． D．

【跟踪练习】

练习1．（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（????）

A． B．

C． D．

练习2．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（?????）

A． B．

C． D．

练习3．已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（????）

A． B． C．2 D．

练习4．如图所示，点分别为的三边的中点.

求证：

(1)；

(2).

重难点03向量共线的判定及三点共线问题

【解题必备】

（1）当时,与同向;当时,与反向().

（2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得

例5．已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（????）

A． B．

C． D．

例6．已知是单位向量，则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【跟踪练习】

练习1．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（????）

A． B． C． D．

练习2．如图，在中，已知．若，证明：三点共线．

??

练习3．若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则.

练习4．已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

??

(1)求的最小值．

(2)若点满足，证明：．

重难点04共线定理的推论

【解题必备】

设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得.

例7．在中，，点E在上，若，则（????）

A． B． C． D．

例8．如图，在中，.

??

(1)若E是BD的中点，试用和表示；

(2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值.

【跟踪练习】

练习1．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则.

练习2．在中，，是的中点，与交于点，若，则（????）

A． B． C． D．1

练习3．在中，、分别在边