第05讲 复数（九大重难点）（解析版）.docxVIP

-2024-2025学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第二册）

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第05讲复数

一、数系的扩充及复数的有关概念

1.复数的有关概念

（1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且.

（2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集.

（3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部.

2.数系的扩充

3.复数相等

若,则复数与相等的充要条件是且.

4.复数的分类

（1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.

这样,复数可以分类如下:

二、复数的几何意义

1.复平面

（1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

（2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数.

（3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

（4）原点:原点表示实数0.

2.复数的几何意义

（1）复数一一对应复平面内的点.

（2）复数一一对应平面向量.

3.复数的模

向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即.

如果,那么是一个实数,它的模就等于

4.共轭复数

（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数.

（2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则.

（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即.

利用这个性质,可以证明一个复数是实数.

三、复数的加减运算

1.复数的加减运算

（1）运算法则:设,则

（2）加法运算律：

对任意，有

交换律

结合律

2.复数加减法的几何意义

（1）复数加法的几何意义.

如图,设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是.

（2）向量减法的几何意义

如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应.

四、复数的乘除运算

1.复数的乘法法则

设是任意两个复数,则

2.复数的乘法的运算律

对于任意,有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

3.复数的除法法则

设,且,则.

注:.

4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式

（1）当时,;（2）当时,

重难点01复数的概念

【解题必备】

判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.

例1．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【详解】因为的实部与虚部相等，

所以，解得，

故选：C.

例2．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)0．

【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数

(2)实部为，虚部为，是虚数

(3)实部为，虚部为1，是虚数

(4)实部为，虚部为0，是实数

(5)实部为0，虚部为，是纯虚数

(6)实部为0，虚部为0，是实数

【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数；

（2）实部为，虚部为，是虚数；

（3）实部为，虚部为1，是虚数；

（4）实部为，虚部为0，是实数；

（5）实部为0，虚部为，是纯虚数；

（6）实部为0，虚部为0，是实数；

【跟踪练习】

练习1．复数，则（????）

A．的实部为 B．的虚部为

C．的虚部为 D．的虚部为1

【答案】C

【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确.

故选：C

练习2．若，则实数的值为（????）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【详解】因为，则，解得.

故选：A.

练习3．已知为虚数单位，则的虚部为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以的虚部为，

故选：D.

练习4．已知复数是纯虚数，则复数的虚部是.

【答案】

【详解】若是纯虚数，则且，解得，

则复数的虚部是.

故答案为：．

重难点02复数的四则运算

例3．已知复数，，若，则实数的取值范围为．

【答案】

【详解】由题意可得：，

因为，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

例4．若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】.

故选：A.

【跟踪练习】

练习1．复数的虚部是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵，∴复数的虚部为.

故选：A．

练习2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，

所以

所以向量对应的复数为.

故选：D.

练习3．已知复数，，其中