第02讲 平面向量的数量积运算（九大重难点）（解析版）.docxVIP

2024-2025学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第二册）

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第02讲平面向量的数量积运算

一、平面向量数量积的概念

（1）数量积的概念

已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0.

投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是.

二、平面向量数量积的运算律

已知向量和实数,则

交换律

；

数乘结合律

；

分配律

.

三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量，是与的夹角，

（1）数量积：；（2）模：.

（3）夹角：

（4）垂直与平行：；

【注】当与同向时,；当与反向时，.

（5）性质：(当且仅当时等号成立)

四、平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量，θ为向量的夹角.

数量积

模

夹角

两非零向量的充要条件

重难点01数量积的简单运算及运算律

【解题必备】

向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.

例1．在中，，则的值为（）

A．20 B． C． D．

【答案】B

【详解】依题意，.

故选：B

例2．已知，，，则（???）

A．4 B．6 C．14 D．18

【答案】C

【详解】因为，，

所以，.

故选：C

【跟踪练习】

练习1．已知向量，，且，则（????）

A． B．5 C．2 D．10

【答案】A

【详解】，，

.

故选：A.

练习2．已知向量和的夹角为，且，，则（???）

A．3 B． C． D．13

【答案】A

【详解】由题意可得，

故选：A

练习3．已知向量，若，则.

【答案】

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，解得，

所以.

速解

，所以存在实数，使得，

所以，所以，则，解得，

所以.

故答案为：

练习4．已知向量满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由，得，

两边平方得，

所以，即.

故选：C

重难点02向量模的计算

【解题必备】

（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.

（2）若,则,于是有

例3．已知向量，是单位向量，且，则为（????）

A． B． C．3 D．5

【答案】B

【详解】因为向量，是单位向量，所以

由则，

所以，

故选：B.

例4．已知向量，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由，得，解得，

由，得，解得，

所以，

则.

故选：D

【跟踪练习】

练习1．已知向量满足，且，则.

【答案】1

【详解】解：因为，

所以，

解得，

故答案为：1

练习2．已知向量，，且，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为向量，，由可得，解得，

故，故．

故选：B．

练习3．已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于（???）

A．2 B． C． D．4

【答案】A

【详解】因为点，绕点逆时针方向旋转得到，

所以，

故选：A..

练习4．若向量，满足，，，的夹角为，则（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵，的夹角为，.

，，

，

，

解得，.

故选：D.

重难点03向量的夹角

【解题必备】

（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；

（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.

例5．已知向量，，且与的夹角为，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】向量，，且与的夹角为，

则，显然，解得.

故选：C

例6．向量，，且，则（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，则，则，

即，解得，

所以.

故选：D.

【跟踪练习】

练习1．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为．

【答案】

【详解】由题意可得，，

所以，又，

所以，

所以，

故与的夹角为．

故答案为：.

练习2．已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】

【详解】当与共线时，，，

此时与方向相反，夹角为180°，所以要使与的夹角为钝角，

则有，且与不反向.由得，

由与不反向得，

所以的取值范围是.

练习3．已知，，，且.

(1)求点P的坐标；

(2)求实数t的值；

(3)求的值.

【答案】(1