二次根式2解析版 初中数学竞赛讲义.pdfVIP

初中数学竞赛

二次根式(二)

【知识概述】

本讲主要研究二次根式的运算，模块一重点介绍二次根式的加减乘除及混合运算：模块二着

重介绍了二次根式化简的一些方法技巧，主要包括分母有理化这一重要工具以及复合二次根

式的化简方法，模块三介绍了二次根式比大小问题.

模块一二次根式的运算

【知识精要】

1、二次根式的加法与减法

整式的加减归结为合并同类项.二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二

次根式.

二次根式加减法的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根

式进行合并

例如：

2、二次根式的乘法与除法

(20200,也就是二次根式的乘法

二次根式性质3:√ab=√a·√b,即5m

法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.

同样的，二次根式的性质4:就是二次根式相除的法则，即两个二

次根式相除，被开方数相除，根指数不变.

需要注意的是二次根式相乘和相除的结果必须化成最简二次根式.

有意义条件得到的);两个根式相除，如、

Za=√56-马

3、混合运算

实数的运算律、运算性质以及运算顺序的规定，在二次根式运算中都适用.

【典型例题】

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(2)

1.(1)x38x+√32x3-√2+2√2x;

【名师点拨】二次根式的加减运算要注意先化简，再合并同类项.

【答案】(1)(2)

2)

【解析】(1)由题意得x0,

原式=23√Zx+4√/2x2+2√2

{P2

E

(2)由题意得m-n0,

原式=6,2(m),52m-)

-(6m“)2(m=)·

2.(1)√a2×√-a2b;

(2)3√2b×5、6a·

【答案】(1)a2b、b;(2)30、3ab.

【解析】(1)由题意得：b≤0,

原式ez.

(2)由题意得a≥0,b≥0,

原式面膨5

3.计算(1)

a+4+24-(2-a?√a)(√a+1):

(2)ada+-b6a+b+6

【答案】(1)0;(2)2√a·

【解析】(1)原式

(√+2)(2)(石+)

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呼第一心

兰性

(2)原式

)·(O,(-0-(

密

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模块二二次根式的化简与求值

【知识精要】

1、分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和

分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号.

例如：ab√a+b/、+t+ba+ba+b

两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这

两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.如：√a+√b与√a-b互为有

理化因式，√a+b与√a+b也互为有理化因式.

2、复合二次根式

复合二次根式：如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，这样的式子

叫做复合二次根式，也叫重二次根式.如√4-2√3,√8+2√7等.

复合二次根式的化简：对于复合二次根式√a±2√b,设法找到两个正数x、y

(xy)使x+y=a,xy=b,则

a±2√5=、(x±√5)-√x±√y.

例如×8