高考数学二轮复习专项突破（新高考版）空间向量与距离、探究性问题.pdfVIP

第4讲空间向量与距离、探究性问题

考［情分析］1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面距

离，属于中等难度2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面位置关系或空间角存在

条件，计算量较大，一般以解答题形式考杳，难度中等偏上.

考点一空间距离

核【心提炼】

⑴点到直线距离

直线/单位方向向量为%A是直线/上任一点，P为直线/外一点，设淳=氏则点P

22

到直线/距离d=yla—(au).

(2)点到平面距离

平面a法向量为〃，A是平面a内任一点，P为平面a外一点，则点P到平面a距离为4

\AP-n\

=I心

考向1点到直线距离

例1(1)(2022・广州模拟)如图，在四棱锥P-48CD中，PBJ_平面4BC。，

ABLBC,PB=AB

=2BC=2,则点C到直线PA距离为()

D

A.小B.小

C.^2D.2

答案A

解析因为平面48CO,A8U平面A8C。，8CU平面A3C。,

所以P8JLA8,PB1BC,

如图，以8为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则C(1,O,O),A(0,2,0),

P(0,0,2),

斤=(1.0,-2),或=(02-2),

即正丽=4.

正在画上投影向量长度为

生户=*=g，故点C到直线以距离为、/|丽］2—(啦)2=小

\PA\272

(2)如图，已知正方体ABCD-AIBIG。棱长为1,则线段AOi上动点P到直线4。距

离最小值为()

A.I

C亚

。4

答案D

解析如图建立空间直角坐标系，则4(1,01)，G(04,l),

设P(x,0,1-x),OWxWl,

则用=。一1,0,-x),^Ci=(-1,1,0),

・•・动点P到直线AG距离为

1

・，•・・

APAG2

I4PF-

IA1C1I

当且仅当时取等号，如线段4n上动点P到直线4G距离最小值为坐.

考向2点到平面距离

例21（）2（022.湖北联考）在底面是菱形四棱锥P—A8CO中，ZABC=60°,PA=PC=\,

PB=PD=p,点E为线段夕。上一点，且PE=2ED,则点。到平面ACE距离为.

答案喑

解析如图，连接AC,8。交于点。，连接OP,以OB,OC,OP所在直线分别为x,,z

轴，建立空间直角坐标系，

设A8=2a,贝ijOA=〃，OB=y[3a,

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因为P