高考数学二轮复习专项突破（新高考版）培优点6 向量极化恒等式.pdfVIP

培优点6向量极化恒等式

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大

复:杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清

晰简单.

考点一向量极化恒等式

极化恒等式：0〃=(W)一

变式：(IA=————j—,

⑵如图，在中，设M为的中点，则然•尼=麻2_1为2=疝2_必论

考向|利用向量极化恒等式求值

例1(1)如图所示，在长方形A8C。中，AB=4小，AQ=8,E,0,尸为线段8。的四等分

点，则恁•后=.

答案27

22

解析BD=ylAB+AD=\2,

・・・A0=6,OE=3,

由极化恒等式知

危病=份一赤=36—9=27.

(2)如图，在△48C中，。是BC的中点，E,尸是AO上的两个三等分点.BACA=4,BFCF

=-1,则丽:的值为

BD

答案8

解析设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,

则人/)=3”.

根据向量的极化恒等式，

得/(^/=助2—m2=9〃2_〃?2=4,①

222

FB-FC=FD-DB=n一nr=-1.②

5

-213

-

8-

联立①②，解得〃208

7

222

因此丽.曲=ED~DB=4,r-m=».

o

即症走二3

o

考向2利用向量极化恒等式求最值、范围

例21)已知48是圆O的育仔，八B长为2.。是圆O上异干A,B的一点,〜是画。所在

平面上任意一点，贝IJ(说+港)•市的最小值是.

答案

解析如图所示，取。。的中点。，连接P。，因为。为AB中点，

所以(后+而).正

=2POPC,

由极化恒等式得

POPC=pb2-Db2=pb2-^

因此当月为。。的中点，即|国)|=0时，

,ff1

(PA4-PB)/C取得最小值一,

2)平面向量m)满足12a一力区3,则a功的最小值为

9

答案-8

解析由向量极化恒等式知

(2a+b)2-(2a—b)2

a・b=3

|2+肝一|2°一例2

=8

2

、

/39

-

^

\0

当仅当|2a+〃|=0,|2。一川=3,

33

--

固

4-2(a,b)一兀时,取最小值.

规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特

别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.

跟踪演练1⑴如图，在四边形A8C。中，8=6()。，AB=3,BC=6,