2025年大学《物理学》专业题库—— 物理学中的吉布斯粒子研究.docxVIP

2025年大学《物理学》专业题库——物理学中的吉布斯粒子研究

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（请将正确选项的字母填在题后的括号内。每小题3分，共15分）

1.与玻尔兹曼分布相比，吉布斯分布的主要特点在于考虑了（）

A.粒子的全同性

B.粒子数可变

C.系统与环境的能量交换

D.系统的有限体积

2.对于由近独立粒子构成的系统，其巨配分函数Ω(μ,V,T)与单粒子配分函数Z的关系是（）

A.Ω=Z^N

B.Ω=Z^(N!)*N!

C.Ω=Z^(N/V)

D.Ω=Z^(N/kBT)

3.在温度T和体积V一定的情况下，系统的吉布斯自由能G与其粒子数N的关系是（）

A.G正比于N

B.G反比于N

C.G与N无关

D.G随N的变化情况取决于系统的具体性质

4.根据吉布斯分布，理想玻色气体的能级i上最概然的一个粒子数为（）

A.g_i*exp(-α-βε_i)

B.g_i*exp(α-βε_i)

C.g_i/[exp(βε_i-α)-1]

D.g_i/[exp(βε_i+α)-1]

5.对于一个由可别粒子构成的系统，在恒温恒容条件下，若要判断一个相变是否发生，依据的判据是（）

A.内能U是否取极值

B.熵S是否取极大值

C.焦耳自由能J是否取极小值

D.吉布斯自由能G是否取极小值

二、填空题（请将答案填在题后的横线上。每空3分，共15分）

6.巨配分函数βμ的物理量纲是________。

7.在吉布斯分布中，参数α=-βμ是________的量度。

8.对于理想费米气体，在能级i上，粒子数的最概然分布为________。

9.若一个系统的巨配分函数Ω对粒子数N的偏导数(?Ω/?N)_V,T有极小值，则该系统可能正处在________相。

10.由N个近独立粒子构成的系统，其粒子数N的概率为P(N)=[1-exp(-α)]^N/N!，则系统的巨配分函数Ω=________。

三、计算题（请写出必要的推导过程和结果。每题10分，共30分）

11.有一理想玻色气体系统，其单粒子配分函数为Z=Σ_g_i*exp(-βε_i)。请推导出该气体在温度T、体积V和化学势μ一定时，气体的压强p表达式。（提示：可利用吉布斯分布推导内能和压强，或直接从巨配分函数出发）

12.考虑一维无限深势阱中的粒子，其能级为ε_n=(n2π2?2)/(2mL2)，其中n=1,2,3,...。假设粒子总数N较大，化学势μ接近第一个能级ε?的能量。请利用吉布斯分布近似，估算该粒子数密度n?=N/V随化学势μ的变化关系。

13.一个由N个可别粒子组成的系统，粒子能量分别为ε?,ε?,...,ε_N，且ε?ε?...ε_N。在温度T和体积V一定时，求粒子处在能量为ε_i的最概然概率P_i。（提示：无需考虑粒子全同性）

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试卷答案

一、选择题

1.B

2.A

3.D

4.C

5.D

二、填空题

6.能量的倒数(或[N]?1)

7.化学势

8.g_i/[exp(βε_i-α)-1]

9.液体(或固体)

10.[1-exp(-α)]^N

三、计算题

11.解析思路：方法一：先利用吉布斯分布推导出粒子数期望值?N?=-?(lnΩ)/?α。由巨配分函数定义Ω=Σexp(μN-εN-S(N,T,V))，对μ求偏导可得p=kBT(?(lnΩ)/?V)_μ,T。将?N?表达式代入压强公式，或直接从巨配分函数出发，利用p=kBT(?(lnΩ)/?V)_μ,T，通过换元u=exp(βε_i-α)和对数性质进行推导。方法二：由内能U=-?(lnΩ)/?β和吉布斯自由能G=-αN-kBTlnΩ，利用U=3/2NkBT(理想气体)，结合热力学关系pV=NkBT，推导出p=nkBT，其中n=N/V。

答案：p=kBT(?(lnΩ)/?V)_μ,T（其中Ω是系统的巨配分函数，或p=nkBT）

12.