3.3勾股定理的简单应用 （第2课时）课件-苏科版（2024）数学八年级上册.pptxVIP

3.3勾股定理的简单应用

第2课时

第三章勾股定理

学习目标

能运用勾股定理及其逆定理进行代数推理，理解如何用代

数方法证明几何结论.

2能运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算.

在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩?为什么这样测量?

直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短.

起跳线l

例1证明：值线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短.

条件结论

分析：1.这个命题的条件是什么?结论是什么?

2.依据命题条件，怎么画出能体现这些条件的图形?

3.当Q移动时，△PAQ始终是什么三角形?

4.在直角三角形中，三边满足什么关系?

怎样比较两边的长短?

典例分析①②③

例1证明：直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短.

已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l,垂足为A,Q为直线l上不同于点A的任意一点.

求证：PAPQ.

证明：∵PA⊥l,

∴△APQ为直角三角形.

根据勾股定理，得

PQ²=PA²+AQ².

∵AQ0,

∴PQ²=PA²+AQ²PA².

∴PAPQ.

分析：1.h,m,n在哪些直角三角形中?

三边满足什么关系?

AB

例2如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD=h,AD=m,

DB=n.求证：h²=mn.

2.AC,BC又在哪个三角形中?之间有什么关系?

DB=n.求证：h²=mn.

证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC²=h²+m².

在Rt△DBC中，根据勾股定理，得

BC²=h²+n².

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得

AC²+BC²=AB2.

∵AB=m+n,

∴h²+m²+h²+n²=(m+n)².

2h²+m²+n²=m²+n²+2mn.

∴h²=mn.

例2如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD=h,AD=m,

A

如图，在数轴上点B表示√2,点C表示√3……你能在数轴上画出

表示√6的点吗?试写出a₉的值.

解：如图所示，在数

轴上的点E表示√6.

由图中的规律可知，

a₉=√100=10.

∴这三条线段能构成一个三角形.

∵(√3²+(√5²=3+5=8,(√8)²=8,

∴(√3²+(√5)²=(√8²,

∴这个三角形是直角三角形.

如果可以，判断这个三角形的形状：。

解：∵√3≈1.73,√5≈2.24,√8≈2.83,

1.长度分别为√3,√5,√8的三条线段能构成一个三角形吗?

∴√3+√5√8,

勾股定理的逆定理

2.求边长为a的等边三角形的一条中线的长.

解：如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

由等腰三角形三线合一得AD⊥BC,

∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得

∴AB=a,9

●●

3.如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=2,BC=4.以AB为一边作正

方形ABDE,与△ABC位于AB的同侧，图中阴影部分的面积是多少?

∴S阴影=S正方形ABDE-S△ABC=20-4=16.A

解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB²=AC2+BC²=22+4²=20,

∴S正方形ABDE=AB²=20,

平方即

可.

求

出

例3如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系?

请说明理由.

解：由图形可得以AB,BC为直径的两个半圆的面积之和

等于以AC为直径的半圆的面积.理由如下：

设以BC,AB,AC为直径的半圆面积分别为S₁,S₂,S₃.

∵BC²+AB²=AC2,

∴S₁+S₂=S₃.

勾股图中的面积关系：

以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图.对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S₃=S₁+S₂.与直角三角形三边相连的图形还可

以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.

①

勾股定理的简单应用

勾股定理的逆定理——判断是否是直角三角形

解决实际问题

用代数方法证明几何结论

课堂小结

勾股定理

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