2022北京中关村中学高一6月月考数学（教师版）.docxVIP

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2022北京中关村中学高一6月月考

数学

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.下列区间中，函数单调递增的区间是（）

A. B. C. D.

2.已知向量满足，则（）

A. B. C.1 D.2

3.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

4.若，则（）

A. B. C. D.

5.已知球的半径为，是该球面上的两点，且线段，点是该球面上的一个动点（不与重合），则的最小值与最大值分别是

A. B. C. D.

6.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）

A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形

7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）

A. B. C. D.

8.若，，则（）

A. B. C. D.

9.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）

A. B. C. D.

10.关于函数有下述5个结论：

①是偶函数；

②函数图象关于对称；

③在区间上单调；

④函数的最大值为M，最小值为m，则；

⑤若，则函数在上有4个零点.

其中所有正确结论的个数是（）

A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.______.

12已知向量．若，则______________．

13.在中，，，请给出一个的值，使得此三角形有两解，则的一个值是_____________.

14.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是______．

15.在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______.

16.如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：.

①四棱锥的体积恒为定值；

②存在点，使得平面；

③存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值；

④存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得平面，也存在无数个点，对棱上任意的点，直线与平面均相交.

其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

（1）求的解析式；

（2）设，若在区间上的最大值为，求的最小值．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.

（1）求证：平面BCP；

（2）求证：四边形DEFG为矩形；

（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.

19.市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A?B?C?D在同一平面内，路宽米，设.

（1）求灯柱AB的高；

（2）市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01）

20.已知正四棱柱中，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．

21.已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T？并说明理由;

①；②.

（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;

（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.【答案】C

【解析】

【分析】先用诱导公式化简，再根据复合函数“同增异减”进行判断即可.

【详解】，

设，则是增函数，根据复合函数“同增异减”的规律，

如欲使得=是增函数，则的值域应在的增区间内，

当时，是增函数