第七章　7.7　向量法求空间角-高考数学大一轮复习.pdfVIP

§7.7向量法求空间角

课标要求1.能用向量法解决异面直线的夹角、直线与平面的夹角、二面角问题，并能描述

解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与

不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.

知识梳理

1.两条直线的夹角

π

0，

若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b的夹角θ∈2，且θ与两个方向

向量的夹角〈a，b〉相等或互补，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.

2.直线与平面的夹角

设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α的夹角

π

0，ππ

θ∈2，且θ＝－〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－，故sinθ＝__________.

22

3.二面角

一般地，已知n，n分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角

12

〈n，n〉或.

12

常用结论

ππ

0，0，

1.两条异面直线夹角的范围是2；直线与平面夹角的范围是2；二面角的范围是[0，

π

0，

π]，两个平面夹角的范围是2.

2.若平面α与平面β的夹角为θ，平面α内的直线l与平面β的夹角为θ，则θ≥θ，当l与α和β

1212

的交线垂直时，取等号.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面的夹角．()

(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.()

(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等．()

1

2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直

2

线l与平面α的夹角为()

A．30°B．60°C．120°D．150°

3．已知直线l的方向向量s＝(1,0,1)与直线l的方向向量s＝(－1,2，－2)，则直线l和l

112212

夹角的余弦值为()

2123

A.B.C.D.

4222

4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()

π3ππ3ππ3π

A.B.C.或D.或

444424

题型