第三章　培优点3　洛必达法则-高考数学（大一轮复习）.pdfVIP

培优点3洛必达法则

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立

0∞

或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛

0∞

必达法则．

洛必达法则：

0

法则1型

0

若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)limf(x)＝0及limg(x)＝0；

xaxa

→→

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

f′x

(3)lim＝l，

xa

→g′x

fxf′x

那么lim＝lim＝l.

xaxa

→gx→g′x

∞

法则2型

∞

若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

limlim

(1)f(x)＝∞及g(x)＝∞；

xaxa

→→

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；

f′xfxf′x

(3)lim＝l，那么lim＝lim＝l.

xaxaxa

→g′x→gx→g′x

注意：

＋－

1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a，x→a，洛必达法则也成立．

0∞∞

00

2．洛必达法则可处理，，0·∞，1，∞,0，∞－∞型求极限问题．

0∞

0∞∞

00

3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1，∞,0，∞－∞型定式，否则滥

0∞

用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则

不适用，应从另外途径求极限．

4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．

fxf′xf″x

lim＝lim＝lim，如满足条件，可继续使用洛必达法则．

xaxaxa

→gx→g′x→g″x

0

题型一用洛必达法则处理型函数

0

sinx

例1设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2＋cosx

sinx

解f(x)＝≤ax，

2＋cosx

若x＝0，则a∈R；

若x0，

sinxsinx

则≤ax等价于a≥，

2＋cosxx2＋cosx

sinx

即g(x)＝，

x2＋cosx