第七章　7.10　立体几何中的动态、轨迹问题-高考数学大一轮复习.pdfVIP

§7.10立体几何中的动态、轨迹问题

重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”

的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”

的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边

形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．

题型一平行、垂直中的动态轨迹问题

例1如图，在棱长为a的正方体ABCD－ABCD中，E，F，G，H，N分别是CC，CD，

1111111

DD，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面ABD，则点M

11

轨迹的长度是()

3a2a

32

A.aB.aC.D.

22

思维升华动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆

锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程．

跟踪训练1正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在正四

棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为()

6262

A.＋B.－

C．4D.5＋1

题型二距离、角度有关的动态轨迹问题

例2已知长方体ABCD－ABCD的外接球的表面积为5π，AA＝2，点P在四边形AACC

1111111

π

内，且直线BP与平面AACC所成的角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为

11

4

()

2ππ2π

A．πB.C.D.

224

跟踪训练2已知三棱锥P－ABC的外接球O的半径为13，△ABC为等腰直角三角形，若顶

16

点P到底面ABC的距离为4，且三棱锥P－ABC的体积为，则满足上述条件的顶点P的轨

3

迹长度是________________．

题型三翻折有关的动态轨迹问题

例3在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD＝1，AB＝2，将△ADE沿DE折起得到△A′DE，

设A′C的中点为M，若将△ADE沿DE翻折90°，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为

________________．

跟踪训练3(2024·连云港模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点E在CD上，现将△AED

沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C时，求点D在平面ABC上的射影

K的轨迹长度为()

222ππ

A.B.C.D.

2323