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全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

在平面几何的学习中，全等三角形的判定与性质无疑是核心内容之一。许多几何问题的解决，往往需要通过构造全等三角形来实现边或角的转化与等量代换。而辅助线的添加，正是构造全等三角形的关键桥梁。巧妙的辅助线能够将看似分散的条件集中起来，将隐含的关系明朗化，从而化难为易，顺畅解题。本文将结合实例，系统梳理全等三角形问题中常见的八种辅助线作法，旨在为同学们提供一套清晰的解题思路与实用技巧。

一、倍长中线法

作法：若题中出现三角形的中线，常延长中线至两倍长度，再连接相应顶点，构造全等三角形。

目的：利用“SAS”（边角边）判定定理构造全等三角形，将分散在中线两侧的线段或角集中到同一个三角形中，从而实现边或角的转移。

适用场景：题目中存在三角形的中线，且需要证明与中线相关的线段相等、线段和差或角度关系时。

图示说明：在△ABC中，AD为BC边上的中线。延长AD至点E，使DE=AD，连接BE（或CE）。则可证△ADC≌△EDB（SAS）。

二、截长补短法

作法：

1.截长：在较长的线段上截取一段等于某已知线段的长度，再证明剩余部分与另一已知线段相等。

2.补短：延长某一较短线段，使延长部分等于另一已知线段的长度，或把两条较短线段拼接起来，证明其长度等于较长线段。

目的：将证明线段和差关系（如a=b+c）的问题，转化为证明两条线段相等的问题，进而利用全等三角形加以解决。

适用场景：题目中出现线段的和、差、倍、分关系的证明，尤其是涉及角平分线、等腰三角形等背景时。

图示说明：要证AB=AC+BD。截长法：在AB上截取AE=AC，连接DE，再证BE=BD；补短法：延长AC至F，使CF=BD，连接DF，再证AF=AB。

三、作高法（或构造直角三角形法）

作法：从图形中的某一顶点向其对边（或对边的延长线）作垂线，构造直角三角形。

目的：利用直角三角形的性质（如“HL”全等判定定理）来证明两个直角三角形全等，或通过高将原三角形分割成两个直角三角形，便于运用勾股定理或锐角三角函数（尽管全等阶段可能不涉及三角函数，但为后续学习铺垫）。

适用场景：图形中含有直角条件，或需要利用直角来构造全等条件；涉及角平分线性质（角平分线上的点到两边距离相等）时，常过角平分线上一点向两边作垂线。

图示说明：在△ABC中，∠C=90°，或要证AB=DE，可分别过A、D向BC、EF作高AG、DH，构造Rt△AGB和Rt△DHE。

四、平移法

作法：将图形中的某条线段或某个角沿着特定方向平行移动，使其与另一线段或角重合或产生新的等量关系，从而构造全等三角形。

目的：通过平移改变图形中线段的位置，使分散的条件相对集中，或构造出一组平行线，利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等）来创造全等条件。

适用场景：题目中存在平行条件，或图形中某些线段明显具有平行移动的趋势，移动后能使对应边或对应角重合。

图示说明：在梯形ABCD中，AD∥BC，可将一腰AB平移至DE（过D作DE∥AB交BC于E），则四边形ABED为平行四边形，△DEC中包含了梯形的一些要素，便于构造全等。

五、翻折法（或对称法）

作法：将图形的某一部分沿着某一条直线（对称轴）进行翻折，使其与图形的另一部分重合或形成对称图形。

目的：利用图形翻折前后的全等关系（对应边相等、对应角相等）来构造全等三角形，特别是在处理角平分线、垂直平分线等具有对称性的问题时非常有效。

适用场景：涉及角平分线、等腰三角形（底边上的高、中线、顶角平分线三线合一）、轴对称图形的题目，或需要将某个角“翻折”到特定位置以构造等量关系时。

图示说明：已知OC是∠AOB的平分线，在OA上取一点P，可将△OPC沿着OC翻折，使OP落在OB上的对应点Q处，从而构造△OPC≌△OQC。

六、旋转法

作法：将图形的某一部分（通常是一个三角形）绕着某一个固定点（旋转中心）按照一定的方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度（通常是60°、90°、180°等特殊角），使旋转后的图形与原图形的另一部分组合，形成新的全等三角形。

目的：通过旋转改变图形的位置，使原本不相邻的线段或角拼接在一起，从而构造出全等三角形，或利用旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角）来创造条件。

适用场景：题目中存在具有公共顶点的相等线段（如等腰直角三角形的两直角边、等边三角形的三边），或图形中隐含着可旋转的特殊角度（如90°、60°）时。

图示说明：在正方形ABCD中，P为内部一点，若要证PA+PB+PC的最小值，或涉及到∠APB=135°等条件时，可将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△CBP位置。

七、构造中位线法

作法：已知三角形两边中点，连接形成中位线；或取某