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三角函数高考试题

三角函数，作为高中数学的重要基石之一，其身影在高考试题中可谓是“常客”。它不仅考察学生对基本概念、公式的掌握程度，更注重检验学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合应用能力。本文将结合近年来高考的命题趋势，精选若干典型试题，并辅以细致解析，旨在帮助同学们更好地把握三角函数的考点，提升解题技能。

一、三角函数的概念与基本关系

三角函数的概念是理解其一切性质与应用的源头。高考中对此部分的考察多以基础题为主，侧重对定义、同角三角函数基本关系及诱导公式的理解与应用。

例1：已知角α的终边经过点P(-3,4)，则sinα+tanα的值为（）

A.-11/15B.-29/15C.-8/15D.11/15

解析：

由三角函数的定义可知，点P到原点的距离r=√[(-3)2+42]=5。

因此，sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=-3/5，tanα=y/x=-4/3。

则sinα+tanα=4/5+(-4/3)=(12-20)/15=-8/15。

故本题选C。

思路点拨：此类问题的关键在于准确理解三角函数的定义，即正弦为对边比斜边（终边上点的纵坐标比半径），余弦为邻边比斜边（终边上点的横坐标比半径），正切为对边比邻边（纵坐标比横坐标）。同时，要注意各象限三角函数值的符号特征。

二、三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质是高考的重点内容，包括单调性、奇偶性、周期性、对称性以及最值等。这部分内容往往与三角恒等变换结合，考察学生的综合分析能力。

例2：函数f(x)=sin(2x-π/3)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

（注：此处虽无图，但可根据选项进行逻辑分析，实际解题时需结合图像信息）

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图像关于点(π/6,0)对称

C.函数f(x)在区间[-π/12,5π/12]上单调递增

D.将函数y=sin2x的图像向右平移π/3个单位长度可得到函数f(x)的图像

解析：

对于A选项，函数f(x)=sin(2x-π/3)的最小正周期T=2π/|2|=π，A正确。

对于B选项，令2x-π/3=kπ(k∈Z)，解得x=kπ/2+π/6(k∈Z)。当k=0时，x=π/6，此时f(π/6)=0，故函数图像关于点(π/6,0)对称，B正确。

对于C选项，令-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ(k∈Z)，解得-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ(k∈Z)。当k=0时，单调递增区间为[-π/12,5π/12]，C正确。

对于D选项，将y=sin2x的图像向右平移π/3个单位长度，得到y=sin[2(x-π/3)]=sin(2x-2π/3)，并非f(x)，D错误。

综上，正确选项为A、B、C。

思路点拨：解决三角函数图像与性质问题，首先要熟练掌握正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B的各项参数（A,ω,φ,B）对函数图像和性质的影响。周期由ω决定，最值由A和B决定，相位φ影响图像的左右平移。判断对称性、单调性时，通常采用整体代换的思想，将ωx+φ视为一个整体，结合基本正弦函数的性质进行分析。

三、三角恒等变换

三角恒等变换是三角函数的核心技能，包括两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式等。高考中常以此为工具，进行化简、求值或证明。

例3：已知tan(α+β)=2/5，tan(β-π/4)=1/4，求tan(α+π/4)的值。

解析：

观察所求角与已知角的关系，发现α+π/4=(α+β)-(β-π/4)。

故可利用两角差的正切公式：tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。

令A=α+β，B=β-π/4，则：

tan(α+π/4)=tan[(α+β)-(β-π/4)]=[tan(α+β)-tan(β-π/4)]/[1+tan(α+β)tan(β-π/4)]

代入已知数据：

原式=(2/5-1/4)/(1+(2/5)(1/4))=(8/20-5/20)/(1+2/20)=(3/20)/(22/20)=3/22。

思路点拨：进行三角恒等变换时，“角的变换”是灵魂。解题前要仔细观察已知角与待求角之间的联系，如和差关系、倍半关系等，通过角的拆分与组合，将未知角用已知角表示出来。同时，要熟练掌握各种公式的结构特征和变形应用，如“1”的代换、弦切互