第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组（要点梳理、类型讲解）.docxVIP

一元一次不等式和一元一次不等式组

（全章复习与巩固）（知识讲解）

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；

3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；

4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.

【要点梳理】

要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

特别说明：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2.不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

要点二、一元一次不等式

1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，

特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

特别说明：

不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；

（6）答：检验是否符合题意，写出答案.

特别说明：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.

要点三、一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

特别说明：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.?

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.?

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

要点四、一元一次不等式与一次函数关系

关于一个一元一次不等式与一次函数关系，实际上就是利用数形结合思想，充分利用公共点就是公共解的思路解决问题。

【典型例题】

类型一、一元一次不等式组??不等式的基本性质??不等式的解集

1．说明：

（1）由，得，是如何变形的？依据是什么?

（2）由，得的条件是什么？为什么？

（3）由，得的条件是什么？为什么？

【答案】（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，当时，理由是当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．

【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得；

（2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；

（3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．

解：（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；

（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；

（3）条件是，理由如下：

当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．

【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．

举一反三：

【变式1】按照下列条件，根据不等式