中考数学 平行四边形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2026年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

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平行四边形存在性问题巩固练习

1．已知Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为（0，2），（3，0）．

（1）写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；

（2）直线l的解析式为y＝﹣2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是

否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M

的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先由点的坐标求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（﹣3，

2）或（3，2）或（3，﹣2）；

（2）根据平行四边形的性质先求得M的横坐标，代入直线的解析式即可求得纵坐标．

【解答】解：（1）设C点的坐标为（x，y），如图1，

∵以点O，A，B，C顶点的四边形是平行四边形，

①当BC＝AO时，

∵O（0，0），B（3，0），A（0，2）

∴AO＝2，

∴BC＝2，

∴C点坐标为C2（3，2）或C3（3，﹣2）

②BO＝AC时，

∵BO＝3，

∴AC＝3，

∴C点坐标为C1（﹣3，2），

综上，第四个顶点C的坐标为（﹣3，2）或（3，2）或（3，﹣2）；

（2）存在，

如图2，过M作CM⊥y轴于C，过M作ME⊥x轴于E，

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∵B的横坐标是3，

∴M1的横坐标是﹣3，代入直线y＝﹣2x+2得：

y＝﹣2×（﹣3）+2＝8，

∴M1（﹣3，8），

过M2作DM2⊥y轴于D，

∵B的横坐标是3，

∴M2的横坐标是3，代入直线y＝﹣2x+2得：

y＝﹣2×3+2＝﹣4，

∴M2（3，﹣4），

∴M点的坐标是：（﹣3，8）和（3，﹣4）．

【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，

类讨论思想的运用是解题的关键．

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2．如图，已知抛物线y＝ax+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点，与y轴相交于点

D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上是否存在点P，使△BDP与△ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点E是题中抛物线对称轴l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点

的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；

（2）由三角函数正切值可得出∠ABC＝∠ABD，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出

结论；

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（3）设出E点坐标（，n），BD为对角线以及BD为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表

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示出F点坐标，代入抛物线解析式即可得出结论．

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【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点，

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0=a−b+ca=−2

∴有0=16+4+，解得=3．

−3=4−2+2

=2

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故抛物线的解析式为y=−x2+x+2．