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中职数学三角函数复习

三角函数作为中职数学的重要组成部分，不仅是解决几何问题的基础工具，也是后续学习专业课程（如机械、建筑、电工等）的数学基础。本文将从概念梳理、公式应用、图像性质及解题技巧四个维度，为同学们提供系统的复习指导，帮助大家夯实基础、提升解题能力。

一、核心概念：从定义出发，构建知识框架

1.1三角函数的定义与本质

三角函数的本质是“角的函数”，其定义需从两个层面理解：

锐角三角函数：在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）分别表示锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。需注意，这些比值仅与角的大小有关，与三角形的边长无关。

任意角的三角函数：将角置于平面直角坐标系中，以原点为顶点、x轴正半轴为始边，终边上任意一点P(x,y)到原点的距离为r（r0），则定义：

sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x(x≠0)。

此定义突破了锐角限制，需重点理解终边位置对函数值符号的影响（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号法则）。

1.2弧度制与角度制的转换

角度制与弧度制是度量角的两种单位，二者的换算核心是：180°=π弧度。在三角函数计算中，弧度制更为常用，需熟练掌握特殊角（如30°、45°、60°、90°等）的弧度表示及对应的三角函数值。

二、公式体系：理解推导逻辑，避免机械记忆

2.1同角三角函数基本关系

核心公式：sin2α+cos2α=1；tanα=sinα/cosα。

这组公式是三角函数化简、求值的基础，需灵活运用“知一求二”的解题思路，注意开方时符号的判断。

2.2诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”需深刻理解：

“奇变偶不变”：指的是将角表示为k·π/2±α（k∈Z）的形式后，若k为奇数，则函数名称改变（sin与cos互换，tan与cot互换）；若k为偶数，则函数名称不变。

“符号看象限”：指的是将α视为锐角时，原角所在象限对应的原函数值的符号。

实际应用中，可逐步将角“化小”，例如：sin(π+α)=-sinα，cos(3π/2-α)=-sinα。

2.3两角和与差及二倍角公式

这部分公式是三角函数的进阶工具，需重点掌握：

两角和差公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB；cos(A±B)=cosAcosB?sinAsinB；tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1?tanAtanB)。

二倍角公式：sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；tan2α=2tanα/(1-tan2α)。

公式的推导过程（如从两角和公式推导二倍角公式）有助于理解其内在联系，避免死记硬背。二倍角公式中的余弦公式有多种形式，需根据题目条件选择合适的形式进行“升幂”或“降幂”。

三、三角函数的图像与性质：数形结合，直观理解

3.1正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx

定义域：均为R。

值域：[-1,1]，最大值为1，最小值为-1。

周期性：最小正周期均为2π。

奇偶性：sinx为奇函数，cosx为偶函数。

单调性：sinx在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]（k∈Z）上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]（k∈Z）上单调递减；cosx在[2kπ,π+2kπ]（k∈Z）上单调递减，在[π+2kπ,2π+2kπ]（k∈Z）上单调递增。

图像是理解性质的关键，需能快速画出y=sinx和y=cosx在[0,2π]上的简图，并根据图像分析其最值、零点、对称轴等。

3.2正切函数y=tanx

定义域：{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}。

值域：R。

周期性：最小正周期为π。

奇偶性：奇函数。

单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)（k∈Z）上单调递增。

其图像为间断的曲线，与x轴交点为(kπ,0)，渐近线为x=π/2+kπ。

四、解三角形：实际应用与综合能力

4.1正弦定理与余弦定理

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）。适用于已知两角一边或两边及其中一边对角的解三角形问题。

余弦定理：a2=b2+c2-2bc·cosA；b2=a2+c2-2ac·cosB；c2=a2+b2-2ab·cosC。适用于已知两边及其夹角或三边解三角形问题。

4.2三角形面积公式

S=1/2·ab·sinC=1/2·bc·sinA