高一必修一数学第二章测试：一元二次函数、方程和不等式·提升卷（解析版）-A4.docxVIP

第PAGE页

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第二章一元二次函数、方程和不等式·能力提升

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可

【详解】由或，，

若或成立，则不一定成立，故充分性不成立，

若成立，则或一定成立，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C.

2．已知，则下列不等式中一定成立的是（?????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误.

【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误；

对于B，由，可得，则，即，故B错误；

对于C，因为，可得；

所以，故C正确；

对于D，，当时，，故D错误．

故选：C

3．已知实数，满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.

【详解】因为，所以，

因为，

当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.

故选：B

4．不等式的解集为，则不等式的解集为（????）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果.

【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且；

因此，解得；

所以不等式可化为，即，

解得或，即不等式的解集为

故选：A

5．已知，且，，则的最小值是（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值．

【详解】，，

当且仅当，即时取等号.

故选：A.

6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据含有量词的命题真假关系分别求出真假时的范围，即可求解．

【详解】因为恒成立为真命题，

所以在时恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，即，

因为命题成立为假命题，

所以为真命题，则，即，

若是真命题，是假命题，则．

故选：D

7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（????）

A．大于10克 B．小于10克

C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克

【答案】A

【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为，

所以，所以，

先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.

由杠杆的平衡原理：，．解得，，

则.

下面比较与10的大小：

因为，

因为，所以，即，

所以这样可知称出的黄金质量大于.

故选：A.

8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（???）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得.

【详解】原不等式可化为，

即恰有2个整数解，

，解得或.

当时，不等式的解集为，

，个整数解为1，2，

，即，解得；

当时，不等式的解集为，

，个整数解为，，

，即，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．若实数满足，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可.

【详解】，所以B正确；

当时，满足，

但，所以A，C；

,故D正确.

故选：BD

10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（????）

A． B．

C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4

【答案】ACD

【分析】由不等式的解集判断该函数开口向上